相对论通俗演义

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第八章 广义相对论
（1）

狭义相对性原理说，“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”基于狭义相对性原理和光速不变原理，爱因斯坦在1905年得到了狭义相对论。 一百年过去了，现在看来，狭义相对论是很自然的想法，因为4维平坦时空的Maxwell方程具有与生俱来的Lorentz协变性。但惯性系不是一个自然的概念。爱因斯坦不是一个普普通通的男人，他1908年左右做了一些光电效应这样的文章，然后继续回到相对论，决定抛弃惯性系。在物理学里，惯性系是一个有特权的王国，爱因斯坦想，这个物理世界应该是民主的，不应该存在具有特权的参考系。他有了这样的思想――姑且称之为“参考系的民主”。做M理论的人可能更加深刻，他们了解胡耳和汤森的思想：膜的民主。

民主是一样好东西，近代中国在1919年开始了五四运动，疯狂追寻民主，这个运动的思想根源是新文化运动，当时人们大声疾呼“德先生”和“赛先生”，知识分子试图挽中国之狂澜于既倒。蔡元培希望请最大的“赛先生”爱因斯坦来中国讲学。那时，正是爱因斯坦和相对论名声大噪的时候。蔡元培通过各种渠道，一再邀请爱因斯坦访问中国，爱因斯坦也表示愿意访问中国。然而好事多磨，由于种种原因，爱因斯坦都未能成行。有的文章称：“直到１９２２年，事情才有了眉目。爱因斯坦将访问日本的消息传来，蔡元培又一次发出邀请。爱因斯坦也回信了，双方就访华的条件，协商了一下。蔡元培提出，如能到北大演讲，愿出酬金每月一千元。下榻处选在最高档的北京饭店。爱因斯坦倒也直率，他在回信中提出，每月一千元的酬金，数目尚可，但是要改成一千美元。住北京饭店，他是满意的，不过要按两人付费，也许他是考虑带夫人同行。一千美元的酬金，在当时是非常高的，因为那时爱因斯坦尚在德国，而德国‘马克’正在经历一场大贬值。对于一位在德国任职的科学家来说，即使是爱因斯坦这样的著名科学家，一千美元也不是一个小数。再说，北京饭店的客房也是以昂贵著称的。然而，蔡元培先生还是答应了爱因斯坦的这些条件。蔡元培认为，爱因斯坦如能光临北大，比什么鼎鼎大名的政治家、军事家都重要百倍！于是，北京饭店做了相关的准备，北京大学师生更是满腔热情、积极筹备，还特意组织了多场报告会，由丁西林等人讲解相对论，一时间掀起了一个宣传、普及相对论的高潮。可惜的是，由于种种原因，爱因斯坦最终未能访问北京，他只是在往返日本的途中，在上海停留了两天，就匆匆地走了。”这件事情到现在已经是昨夜黄花，但真相现在还有人在争论之中。可以肯定，爱因斯坦不是一个会轻易放人鸽子的人。


回过头看，第一，万有引力的大小依赖于两个物体之间的空间间隔，但在四维几何里，3维空间间隔不是一个不变量；第二，万有引力定律与狭义相对论的矛盾水火不容。这个矛盾大致可以这样看出来，两个物体之间的空间间隔依赖于观察者，所以在不同的观察者看来，2个物体之间的万有引力大小依赖于观察者。这区别于库仑定律，在库仑定律中，除了电力还有磁力。

万有引力定律对吗？狭义相对论对吗？爱因斯坦开始陷入了深深的思考。后来他意识到，应该抛弃惯性系了，他于是抛弃了惯性系。在一定意义上，下面三个原理是一致的：
1。广义相对性原理。
2。广义协变性原理。
3。微分同胚不变性原理。

到时候了，爱因斯坦提出了广义相对性原理，“所有的参考系中，物理规律是一样的。”

1915年６，７月，他在阿廷根作了６次关于广义相对论的学术报告。同年１１月提出广义相对论引力方程的完整形式，并且成功地解释了水星近日点运动。 １９１６年，３月他完成总结性论文《广义相对论的基础》， 广义相对论正式地出炉了！值得指出的是，数学家希尔伯特在爱因斯坦之前就推出了引力场方程，他说：“哥廷根大街的每一个小孩都比爱因斯坦更懂四维几何，但发明广义相对论的是爱因斯坦而不是数学家。”

爱因斯坦方程是天人合一的典范，它的出世，表明纯粹理性具有非凡美感，人类心智，极富荣耀。

G-ab=T-ab （3）
在真空情景下，爱因斯坦方程可以写成：
R-ab=0 （4）  
在有些情景下，人们处理带有宇宙项的爱因斯坦方程。


爱因斯坦方程（3）的思想精髓众所周知：物质等于时空的弯曲。这一点是最重要的，如果问爱因斯坦理论最震撼人心的思想是什么，一半人会回答是等效原理，另外一半人会回答是物质等于时空的弯曲。真正思考过这个问题的人，多数会选择后者。

有一个问题，是很自然的，假如没有物质，时空是不是会弯曲？很多人马上会讲，schwarzschild时空的外部解，没有物质，但是弯曲的。它是真空爱因斯坦方程的解。但注意，schwarzchild的外部不是闭的空间。真空爱因斯坦（4）引起了很多几何学家的兴趣。在某个时候，我还是一个年轻的大学本科学生，听S.T.Yau在中国科学院的一次公众演讲，他是当代最杰出的几何学家之一，他问：“是否存在一个闭空间，那里没有物质，但时空弯曲？”

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第九章 黎曼曲率杂谈
（1）


爱因斯坦方程横空出世了，求解这个方程变的很重要。爱因斯坦的方程是偏微分方程，它是几何和分析之间的桥梁，这个方程里面，最实质的内容就是黎曼曲率。需要求解的是度量函数，但求解一般不是轻易的事情。爱因斯坦曾经在一次纪念Maxwell的演讲时说：“偏微分方程进入理论物理的时候只是一个婢女，但现在已经是主妇。”其说法很容易让人想起中国古典名著《金瓶梅》。偏微分方程的理论，到现在还不是很成熟的。已经成熟的是代数方程，或者说是多项式方程。2的x次方加3的x次方等于1，这样的方程不算是代数方程。高斯证明了代数基本定理，说，n次代数方程f（n）=0，那么，它必然有n个复数根。但是真正求解n次代数方程，不是很简单的一件事情。
历史上一点一滴进步，都凝固了前人的心血。即使历史善于遗忘，也难免记住一些英雄。方程论上最早的英雄塔塔里亚，他解决了三次方程，
塔塔里亚活着的时候被人砍伤，成为哑巴。据说在意大利语中，塔塔里亚就是“口吃者”的意思。他第一个解答这样子的方程x^3-21x^2+78x-55=0
但塔塔里亚掌握了3次方程的解法，没有发表，每天压枕头底下暗爽，后来被人剽窃了。世道浇漓，剽窃的人成为当时该领域的学术带头人。塔塔里亚很是愤懑，1530年他约对方在米兰大教堂各出30道3次方程比赛，观者千人。结果是塔塔里亚大获全胜，对方一题未答，成为剽窃史上空前丑闻，也让后人引以为戒。解决了三次方程，很自然地就是解答更高次的方程。
1824年，22岁的Abel自费出版了一个小册子，他证明了，n大于等于5的时候，n次代数方程一般没有根式解。Abel是挪威的数学家，是一个穷牧师的儿子，一生贫病交加，27岁时候死于肺结核。天才生于寒冷，他濒死去的时候，巴黎大学给他一个聘书，聘他去做教授，可是，Abel马上死去。Abel理论对后世有巨大的影响。
天才是互相感应的，Abel死的前一年法国的19岁的伽罗华写了一论文给法兰西科学院。他用一个新的方法回答了能够根式求解的代数方程的条件。其文章太前卫，别人看起来有点南腔北调。投稿2次，人家竟然把原稿给丢失了。

伽罗华是另外一个具有杰出才能的法国数学天才，他引起了群论的诞生。伽罗华比Abel更加富有传奇色彩，当时的法国巴黎各派政治意见不和，习惯卸下门板，在街道上筑起街垒，互扔石头。伽罗华是一个天才，他考巴黎著名的工科学校竟然2次没有考上，上了巴黎师范。后者在当时还不算是名校。伽罗华对政治感兴趣，他是一个镇长的儿子，很有实力。还曾经因为政治上反对波旁王朝“七月革命”而被学校开除，后来又因为政治入了监狱，再上了法庭，在法庭上，他说：“我们是孩子，我们精力充沛，勇往直前。”

21岁的伽罗华在一天晚上，他答应与人决斗，在油灯下匆忙了写下了群论纲领。这个纲领也算是一个遗言，在某个地方他写道：我的时间不多了……

第2天天才在决斗中牺牲。
1932年5月的这天。
一轮血红的残阳挂在某一个枯树的枝头。
整个世界都快哭了。
Abel和伽罗华全在年轻的时候离开人世，他们对数学的影响却无比深远。他们对天才的年轻人有很好的示范作用，特引用词一首，以表哀思：
“原谅话也不讲半句此刻生命在凝聚  
过去你曾寻过某段失去了的声音  
落日远去人祈望留住青春的一刹  
风雨思念置身梦里总会有唏嘘  
若果他朝此生不可与你那管生命是无奈  
过去也曾尽诉往日心里爱的声音  
就像隔世人期望重拾当天的一切  
此世短暂转身步进萧刹了的空间  
只求望一望让爱火永远的高烧  
青春请你归来再伴我一会”



挪威不是一个大国，但它出土了一流的数学家Abel，还有一个大名鼎鼎的是索飞斯?李。李发明的李群是相对论中的基本数学工具之一，很难想象一个不懂得李群的相对论专家会是什么样子。Bianchi对3维的李代数进行分类，发现有九种，这就是九个Bianchi宇宙。

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（2）
李群也是微分流形，从微分流形的角度看它，会有一些直观的印象。比如SO（4）群，它是标准的三球面S^3上的等度量群。那么，什么是三球面呢？中学的几何学基本上都是研究2或者3维平直空间里面的几何学。一个点是0维的，一条直线是1维的，一个面是2维的，我们生活的空间是3维的。
2维的面，很简单，有的看上去是弯曲的，比如篮球的表面，或者十三陵地宫里的巨大的圆木柱子的表皮――柱面。 但可以看到，一个柱面是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，所以，不太严格地说，柱面的内在的曲率是0，而球面显然不是这样的。球面的内禀曲率不是0，大概就是你不能用剪刀剪开它然后完全地贴到平坦墙壁上。
我刚开始接触黎曼几何时，就是用上面的方法在强行理解“内在的曲率”的。

但还是有一些问题，比方在纸上画一个扇形，然后把扇形卷起来用胶水把对边粘起来。那就是一个圆锥面。 显然圆锥面也是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，于是圆锥面的内在的曲率也是0。但它有一个尖点，那里不是光滑的，不能定义内在的曲率，应该排除。

内在的曲率，实际上是指Riemann张量。

那么什么是张量呢？这个东西不是一个容易理解的概念，它可以被放在坐标系下被确定下来。比如一块石头，从东边看它象一只猫，从西边看象一兔子，从南边看它象一个乌龟。那么这个石头的外形，就仿佛是一个张量。  
如果一个人试图研究一个正立方体沿着体对角线转动时候的动能，那么，转动惯量就是一个很好的例子。真正考虑这个问题并做过计算，甚至不断变换正立方体的转轴，张量，这个有点神秘的幽灵，会立刻象花朵一样开放在眼前。


自行车的内胎。它的拓扑结构是一个二（维）环面，修车人生活在三维空间里，他看到的是这样一个中间有洞的东西。

拓扑地看，一个自行车内胎与一个篮球皮有什么区别？自行车内胎上剪出一条封闭曲线不一定把它分成2块，但一个篮球面上剪一条封闭曲线一定把球面分成2块。这个暗示了球面与环面在拓扑上是不一样的。一个自行车的内胎实际上是一个柱面弯起来以后把2个头接起来产生的。看的出来，它就是一个圆周s1在另外一个圆周s1上走了一圈后得到的，所以有一个很直观的记号，环面T2=s1 x s1。（环面记做：s1 x s1。因为环面的英语是Torus。所以还可以把2维度的环面简单记为T2。）

那么自行车内胎T2的内禀曲率是不是为0呢？？？很明显它用剪刀剪2次后是不能完全展成平直的，它不可以完全地贴在平坦的墙壁上。因此，在三维欧几里得平坦空间的自行车内胎，它不是处处内禀曲率为0。当这样说的时候，实际上背后的故事很是悠长


（3）
在数学物理中，文献很多，有的研究者指导研究生写文章，集中多年精力做的事情就是把低维的情况推广到高维。第一个博士生从3维推到4维，第二个博士生从4维推到5维，年复一年。直到某一年，流年不利，有实力的博士生直接从3维推到n维。于是，这个事情算是彻底干净了。另起炉灶的时光来了。

什么叫高维空间？人类生活的时空一般认为是4维的，但在string理论理论认为宇宙是10维的，有6个维度太小。譬如花园里面的一个很长的自来水管，它是柱面，当然是2维的，但远远地看，人们会以为那是一根1维的绳子呢！！人们感觉不到6个额外维度，但他们组成卡拉比-邱成桐空间。额外维是相对论研究的潮流之一，5维度的时空，也就是1920年代初期最早最原始的kluza-klein理论，具有统一引力和电磁力的神奇功能。5维的kluza-klein时空比人们的感觉到的4维的多出一个维度，多出了那一个维度非常之小。但电子在那里运动的时候就在4维时空表现出电荷来。这多少有点象看一个人在翻滚过山车，他身上有离心力的痕迹
到了20世纪末，lisa Randall等提出了膜宇宙模型，她们可以允许很大的额外维，这是后话。为了叙述的方便，n维的环面，记为T^n。n维的球面记为s^n。（因为球面的英文是sphere。）在后续的章节里，这样的记号会频繁使用，很多符号，全是可以类推的。

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第十章 宇宙学之一
（1）
爱因斯坦把他的方程写出来以后，开始考虑的一件事情是如何从他的方程得到我们生活其中的宇宙。爱因斯坦的雄才大略在这一件事情上体现得淋漓尽致。这种气质在科学家中是极其少见的，赫胥利《天演论》第一句也有过类似的气质：“赫胥黎独处一室之中，在英伦之南，背山而面野，槛外诸境，历历如在机下。乃悬想二千年前，当罗马大将恺彻未到时，此间有何景物？计惟有天造草昧……” 爱因斯坦也是这样，他要在斗室之中，通晓天地之变，阴阳之道，但他用的是数学方法做《天演论》。

广义相对论一直被誉为最美丽的理论，爱因斯坦也被认为是人类历史上最伟大的科学家，他一个人苦心孤诣地研究工作，为我们打开了认识神秘宇宙的大门。当然，与爱因斯坦的广义相对论有竞争的理论，为数也多如牛毛，排除一些地道的民间科学家的理论，这些理论之中，最重要的是班斯和迪克的标量张量理论，在他们那里，牛顿万有引力常数不再是一个常数，而是一个函数，这个想法是很自然的。函数也就是标量场，在广义相对论中，标量场神出鬼没，成就了一批又一批的文章。

广义相对论中，最基本的是时空流形M和它上面的度量 g＿ab。Ｍ在没有g＿ab的时候，上面是没有距离概念的，也就是没有过去和未来。Ｍ仅仅是一个微分拓扑空间，可能把它想象成一个４维的自行车内胎或者篮球皮，等等等等。Ｍ上面具有光滑的微分结构。至于它上面有多少光滑的微分结构，这个问题就过于艰深了。一般地说，在最简单的平坦Minkowski流形上，有无穷多个微分结构。这个工作是得到Fields奖的。

聪明而细心的看客马上会问，那么，Ｍ上的所有微分同胚变换是不是构成一个李群？答案是肯定的，但是，这个李群是无限维的，这有一点不象su（2）那样简单了，su（2）李群是3维的。这个问题背后有冗长的不厌其烦的计算和深刻的数学。在这里，注意力是集中的，我们要关心的是宇宙学。

但是，宇宙是有时间的，为了定义时间，抛弃热力学时间箭头抑或电磁辐射时间箭头。在相对论里，度量 g＿ab的号差是Lorentz的，也就是说，把度量看成一个4乘4的矩阵，在线性代数里面，有一个惯性定理，这个定理说，在相似变换下，矩阵的正负特征值的个数是不变的。度量是Lorentz的，相当说，特征值有一个是负的，其他三个是正的，写成（-，+，+，+）。其中，负号代表时间。

是否每一个流形都可以配上一个Lorentz号差的度量？或者说存在整体定义的时间？时间作为一个矢量场整体存在，矢量场整体无奇点，指数为０．Hopf-poincare的指数定理说，指数和等于欧拉数。所以一个流形可以配上一个lorentz号差的度量，必然要求流形Ｍ的欧拉数为０。
Ｍ的拓扑结构对g＿ab的限制，这样的问题连爱因斯坦也没有考虑过。粗浅地说，这样的问题就好象是一个金饭碗，但你会解决这样的问题时候，这往往意味着你已经长大成人了，可以出去讨生活了，并且在一定程度上可以自我保证衣食无忧了。



（2）

w.pauli很年轻的时候，曾经一系列介绍相对论的文章，集中为写过一本书，叫《相对论》。这本书现在已经被人淡忘，往事不要再提，人生已多风雨。我有一本他的书，每每看到这本由内而外发黄的书，１９２０年的Pauli研究生在油灯下笔耕不辍的情景就跃然眼帘，让人不由得想起四字镏金大字：英雄时代！

在本书中，相对论建立的1905年到1970年代霍金提出黑洞辐射，这短短的一甲子左右的光阴，我称之为“英雄时代”。这段时间中，量子力学也诞生了一大批人类精英。
特仿人民英雄纪念碑的碑文一则：
　　八九十年以来，在爱因斯坦理论中牺牲的英雄们永垂不朽！

　　三四十年来，在Hawking和penrose的奇性理论中牺牲的人民英雄们永垂不朽！

　　由此到廿一世纪初年，从现在起，为了理解广义相对论，争取人类精神独立和自由幸福，在历次斗争中牺牲的英雄们永垂不朽！

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Geroch等在１９７３年曾经证明了一个定理，说的是，如果时空（Ｍ，g－ab）是整体双曲的，那么，在拓扑上必然有Ｍ＝ＲＸＥ，其中，Ｅ是一个３流形，是类空的。这个定理的意思是说，假如你要有一个定义良好的初值问题，那么，时空的拓扑必须要是一个ＲＸＥ。其中Ｒ就是时间，用参数t表征，每一个等t面是cauchy曲。这个定理，最直白的意思，就是想要给出了唯一的时间演化，“已知现在的情况，能够唯一确定未来。必须要有一个拓扑限制”，在这个意义上，这个定理对算命先生极其有利。但是可惜的是算命先生不是谦虚好学之人，多数不知道偏微分方程理论背后的巨大天机。
在宇宙学上，人们往往不考虑违背Geroch1973年的这个定理的奇异的宇宙，例如拓扑为Ｔ４或者Ｓ４。因为人们相信，在宇宙之中，存在良好的因果关系，可以很好地处理初值问题。



（3）
哥白尼原理，也叫宇宙学原理，它说：我们的宇宙，在空间上是均匀的，各向同性的。这一个原理是有一定实验根据的，那就是微波背景辐射。当然这个背景也不是绝对均匀的。但在数学上，这样的空间就是具有最大对称性空间。
人类生活在其中的宇宙，浩瀚神秘，每当仰望星空，很多人都会好奇，宇宙，到底是有限还是无限的，宇宙是不是自相似的具有分形结构，是否天圆地方，是否有沉睡在宇宙深处的黑暗能量，外星球有没有象人类同样的孤寂和智慧。在中国古代，就有《天问》的说法，问天问地，十分好奇的一种心态。
目前的观测似乎说明，我们的宇宙3维空间部分具有最大对称性。单连通3流形具有最大对称性的，只有3种，E3，S3，H3。这个分类的结论与Thurston有联系。Thurston把单连通3维的几何体分成8种，前面的3种就是E3，S3，H3，允许6个独立killing场，具有最大对称；后面的5种分别为S2×S1, H2×S1, Sol, Nil 和 SL(2,R)，允许3个独立killing场，具有均匀性（spatially homogeneous），但不具有各向同性。所有这一切的前提，全是研究单连通流形。至于不是单连通的，或者其他情景，只能让人归结到poincare猜想。这个问题是非常有趣的，顺带地，毕达哥拉斯最早知道，正多面体只有5种，这相当于冰山的一角，推广到高维空间，问有多少个超正多面体。冰山暴露出来，一定让很多人大吃一惊，这样的冰山，可以化神气的泰坦尼客为腐朽，把繁华变成南柯一梦。

话说回来，我们的宇宙，在空间上是什么样子的呢？真的是E3，S3，H3的其中一种吗？罗伯逊和沃克RW度量描述了这3种情况。RW度量的给出，纯粹是从对称性的考虑和宇宙膨胀的事实中写出来的。这个RW度量不是真空爱因斯坦方程的解。

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第十一章 宇宙学之二  
（1）
RW度量可以描述我们的宇宙，但它与爱因斯坦方程没有从属关系，也就是说，即使爱因斯坦方程不对，RW度量也可以是正确的。它们两个的地位独立,类似于男人和女人的关系，男人和女人的结合，出来的结果是一个婴孩，就是富里德曼方程。富里德曼方程描述宇宙到底是怎么样子在膨胀。因为单知道膨胀是不够。现在发现膨胀是加速的，宇宙学就会给现在的科学提出一个大问题。这个问题总得来说是与暗物质和暗能量有关系。李政道曾经提过21世纪的物理学的大问题，暗物质暗能量好象也是其中之一，其他他说的好象有夸克幽禁和渐近自由。渐近自由理论已经得到诺贝尔物理奖。同样，暗物质暗能量问题一旦解决，肯定也能得到诺贝尔物理奖。在相对论领域，能够得诺贝尔物理奖的还有引力波或者引力子的发现。不说诺贝尔物理奖，宇宙学的这个问题可以与生命的起源，DNA的编排，生物为什么必然要死亡等问题类比，是文明的指标。
莎士比亚有一个很精彩很著名的句子，好象是说：“死掉还是活着，这是一个问题！”对于宇宙来讲，死掉还是活着这同样也是一个问题。宇宙的命运是少数人扣人心弦的谈资。理论是一套接连一套。近代宇宙学，大爆炸模型已经被很多人接受，被称为标准宇宙模型，其他还有一些非标准模型，其中以前最有影响的是稳恒态宇宙模型，它由英国天文学家霍伊尔（Hoyle，Sir Fred 1915～）、美国天文学家邦迪（Bondi，Hermann 1919～）以及在奥地利出生的美国天文学家戈尔德（Gold，Thomas 1920～）提出的。在大爆炸宇宙模型提出的初期，人们曾根据哈勃常数推算宇宙的年龄，然而由于哈勃常数在测定远距离星系的视星等与红移关系时，采用了造夫变星决定距离的偏差太大，以致得到的哈勃常数太大，由此估算出的宇宙年龄只有20亿年，比地球的寿命还短，这给当时的大爆炸宇宙学说带来困难，稳态宇宙学说应运而生

　　稳态宇宙学说认为，既然时间和空间平等，而宇宙物质在空间分布是均匀且各向同性的，那么宇宙在时间上也应是均匀不变的，这就是所谓的“完全宇宙学原理”。宇宙既然不断地在膨胀，同时又要求保持宇宙物质分布上的均衡不随时间改变，必然要求物质在不断地产生，从而保持宇宙物质的密度随时间不变。稳态宇宙学不能清楚地说明，物质在哪里、以何种方式产生，以什么形态出现。在这个模型里，宇宙不会死亡。

这些宇宙模型，给人的感觉有点空洞，偶然会让人对人生也充满怀疑的颓废。情绪化而理性不够的人全部都不行了，转而只能问一些最基本最天然的问题，比如，宇宙是不是无限大？宇宙是不是平坦的？　　
粗劣地说：
1.可观测的宇宙是有限的。2.RW宇宙是共形平坦的。

总得说来，宇宙学和天文学的关系密切。宇宙学它的历史悠久漫长，在这个历史过程中，爱因斯坦引入了宇宙学常数，修改了他的引力场方程。他的这个举动，使得整个宇宙学的历史跌宕起伏。宇宙学和黑洞理论一样，给相对论以一个应用的舞台。在某个时候，爱丁顿和钱德拉塞卡有过著名的争论，相对于沉默的钱德拉塞卡，爱丁顿这样尖锐地说：“你是以恒星的角度看问题，而我，是从大自然的角度看问题。”也许，这句话在这里充满了哲理，对于黑洞，要从恒星的角度去看，而对于宇宙，却要从大自然的角度去看。

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第十二章 黑洞的惊鸿一瞥
（1）
在几乎所有的物理学的书籍中，可能费曼的三卷物理学讲义最引人注目，这个讲义大致是1960年代他在加洲理工大学给大学一年级与二年级的学生做的演讲。当时大概有180个学生聚集在一个大的演讲厅里，一周两次去听物理学家费曼的讲座。这些学生在听完以后分成15到20个人一组在助教的指导下背诵和理解这些讲座。费曼说在这些讲座的最主要的任务是要使得那些从高中来到加洲理工的非常聪明的学生保持他们对物理学的热情。因为这些学生他们曾经听说过物理学是多么有趣以及激动人心――相对论，量子力学，以及其他现代的观念。但是一般地，在他们真正进入大学的前期2年的入门课程里，他们往往听到的是让人沮丧的缺乏现代新鲜感的课程。这些学生们被迫着去研究斜面，静电学，诸如此类有点罗嗦的东西，其实这些东西有的学生在高中的时候就了解的很清楚了。所以，一般来说，大学物理系的前2年非常徒劳。费曼用他的精彩讲座试图来改变这样的局面。他的讲座里，也讲了一两次广义相对论

古典的传统的物理学确实有非常令人乏味的地方。在大学里，很多年轻学生对诸如“黑洞”，“虫洞”这样的事物充满激情和美丽幻想。
这就是生活。
（2）
黑洞。
最早使用这个名字的人是费曼的导师，后者可以被称为“美国相对论之父”，因为爱因斯坦之后，几乎在美国的所有一流的相对论专家，全是他的徒弟和徒孙。他就是惠勒。附带地说，我上研究生的时候，在学校里听一位印度学者做相对论的报告，这位学者在开场白里戏称刘辽为“Father of Chinese General Relativity”，当时座下的刘辽教授当即表示了谦虚地反对，于是，大家一笑而过。惠勒1933年研究生毕业以后就开始大展宏图，在二战期间做过原子弹的研究工作。战争结束以后用计算机模拟过黑洞。因为，黑洞是恒星演化的产物，恒星的核反应，这其实就是原子弹的原理。所以，对于黑洞一开始的研究，是很物理的，而不是象现在，偏于几何和数学化。
“黑洞”这个词，在法语里感觉起来比较低级。但钱德拉塞卡曾经说过，广义相对论作为一门理论，其实验依据不是非常充足，但他相信，广义相对论是真理，为什么？因为从他做黑洞微扰的经验，他得到了一些震撼人心的美的体验
黑洞一出现，人们普遍认为，这几乎就是世界末日的真实体验，以史瓦西黑洞为例，当观察者进入到离黑洞中心距离为R=2M的时候，他就会在人类的世界里消失。道理是很简单的，在R小于2M的时候，每一个等R面全是同时面，也就是说，坐标R在那个时候，已经不是空间，而表示时间了，所以，观察者不可能在同一时间出现在相等的R处，于是，时间流动，这个观察者必然要沿着R单调变化的方向前进，于是，它必然要撞上R=0的那个可怕的地方，这个地方，是这个观察者时间的终点，被称为奇点。
美国康奈尔大学的研究者Rindler，他给R=2M的那个地方取了一个名字，叫做地平线，英文是Horizon，原始的意思是说，这个观察者掉进了R=2M这个曲面之后，黑洞外面的人再也见不到他了，就好象太阳在地平线之下，地球上的人就看不见了。后来，Horizon被翻译为一个更加学术化的名词“视界”。
如果说有什么记号能够表示黑洞，最简单的数学可能是：
奇点+视界=黑洞
（3）
黑洞，就好象是达芬奇的《梦娜丽莎的微笑》这样的历史名画，或者是贝多芬的《命运》这样的交响乐章，它充满了美，同时充满了对命运的无情嘲弄。在1970年代以前，人们开始接受一个这样的观念，黑洞，是恒星演化的终结。黑洞是一个完全黑色的东西，
但是，在1974年2月，在牛津大学有第一次的量子引力会议，这样的会议在6年以后还有一次，会议的组织者是该校的爱沙姆，西阿玛和彭罗斯等。在这个会议上，霍金报告了一个惊人的消息，黑洞不是完全黑的，它会向外发出辐射，并且，这个辐射是热辐射，也就是说，它不会带出什么有意思的信息。当然不排除霍金在这个回忆之前已经吐露了这个研究结论。
霍金的这个发现，给他引得了世界性的声誉。这个时候以后，大众的视线，开始聚焦在这个在轮椅上的严重失声肌肉严重萎缩的英雄人物身上，历史显得疯狂起来。因为，霍金传递了一个讯号：黑洞，不是恒星演化的终结，而只是一个中间过程，我们人类，似乎还有希望。

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第十三章 钱德拉塞卡
（1）
“我不知道风/在向那一个方向吹/我是在梦中/在梦的轻波里依洄/”中国的徐志摩乘船离开剑桥大学以后几年，另外一个来自东方文明古国印度的学生乘船来到了剑桥大学。他的名字是钱德拉塞卡。他想跟爱丁顿研究天体物理。爱丁顿当时是世界上一流的相对论学家，在第一次世界大战中他率领一群人开了船来到巴西某个岛屿发现了光线偏折，证明了相对论的正确性，而被人们看好。  

爱丁顿年轻的时候就很聪慧，并且骄傲过人。这个人与女朋友谈恋爱，研究天象很有成功，刚刚推导出氢核反应，一天晚上草地上躺满了情侣，一对一对地看星星。女朋友望着美丽闪烁地星光出神，对爱丁顿说：“看，闪烁地星星好美啊！”爱丁顿说：“是啊，可是此时，我是这个星球上唯一懂得为什么那些星星是如何闪烁发亮的人。”语气里充满了无比的孤独感。  

钱德拉塞卡来自英国的殖民地，1929年钱德拉18岁（当时还在印度读书），就写了两篇有份量的论文。其中一篇题为《康普顿散射和新统计学》的论文递交给剑桥大学三一学院的富勒（RalphH．Fowler）教授，富勒将论文推荐给《皇家学会会报》。第二篇论文刊在《哲学杂志》上。 后来经过漫长的海上航行， 钱德拉塞卡来到了英国，他当上了剑桥大学富勒教授的研究生。

钱德拉塞卡猜想假如星星的质量大于太阳的1.4倍，则这个星星将会不断坍缩，最后电子的简并压和引力平衡，星体变暗，成为白矮星。几乎在同时郎道也做出了同样的猜想。爱丁顿和爱因斯坦等著名科学家不同意钱德拉塞卡的猜想。因为他们想得更加远了，假如事情真如钱德拉塞卡所讲的那样，那么，当恒星的质量远远大于1.4倍太阳质量的时候，那时候引力会变得格外地强，于是，恒星不是以白矮星的命运结束，而是可能收缩为一个点了。这在爱丁顿看来，是违背自然规律的。
他说“我认为应该有一个自然定律阻止恒星以如此荒唐的方式运动”， 他后来又说泡利不相容原理不能应用于相对论性系统。爱丁顿的权威，使得天文学界基本上接受了爱丁顿的见 解。因为这个缘故，钱德拉塞卡的诺贝尔奖迟到了50年！钱德拉塞卡与爱丁顿的见解不可调和，他在英国难以获得合适的职位，这样钱德拉塞卡才到了美国芝加哥。

　　后来，钱德拉塞卡在芝加哥大学从事了长达58年的学术生涯，后来的芝加哥大学，成为相对论研究的一个前沿阵地，除了钱德拉塞卡致力于研究恒星结构和演化、黑洞的数学理论外，盖罗奇（R.Geroch）和沃德（R.Wald）也成为最一流的研究者，他俩也是惠勒的学生。R.Geroch在1973年美国数学家会议上跟数学家报告了广义相对论中的微分几何问题，引起微分几何学家开始关心正质量猜想。国内的梁灿彬教授在1981年前去芝加哥大学做访问学者两年，跟R.Wald和R.Geroch学到大量微分几何和广义相对论


1944年为爱丁顿逝世，发表讣告演说时， 钱德拉塞卡给予爱丁顿高度评价，把爱丁顿誉为那个时代仅次于施瓦西（Karl Schwarzschild）的最伟大的天文学家。1983年 钱德拉塞卡与富勒（W．A． Fowler）分享了诺贝尔物理学奖，获奖理由是对恒星结构和演化的物理过程的研究。他的主要著作有《黑洞的数学理论》（1983）。他的这本专著成为后来几十年黑洞研究的必备用书，其中有大量篇幅研究黑洞微扰和黑洞的测地线的行为。因为黑洞是全黑的，要想在天文上观察到黑洞，人们期望在黑洞与地球之间有一个对黑洞的扰动，这个扰动会引起黑洞的辐射引力波。这些计算全是很数学，比如对于标量场来说，黑洞与地球之间的势称为里格--惠勒势。 黑洞微扰其实就是微分方程，数学家也会有兴趣的。  

　　钱德拉塞卡1995年8月21日在美国芝加哥去世。《今日物理学》杂志 1995年11月号（48卷）发表了芝加哥大学帕克（EugeneN．
教授撰写的讣闻。讣告中称：“钱德拉塞卡的去世标志着这样一个时代的结束：物理学家首次达到向内探究原子和基本粒子、向外探索恒星宇
宙的水平。” 钱德拉塞卡最初的关于白矮星的计算，后来被推广到中子星，从恒星的观点看，这样的方法，导致的结论是：黑洞不能被避免。

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第十四章 中子星的辉芒

（1）

钱德拉塞卡已经得到了关于白矮星的理论，从他开始，人们真正开始了解恒星的命运。但之前和之后的很多事情，有雾一样的神秘，中子星的预言，其中的计算非常物理的，需要估计中子气的物态方程，因为中子星的密度极大，不能使用牛顿的万有引力，又必须要用到广义相对论。真正能做这些估计和计算的，在当时的人群里已经寥寥无几了。
理想气体的状态方程，是很多人熟悉的，就是所谓的克拉伯龙方程PV=NRT。但中子气的状态方程，是什么样子，很少有人能写出来了。1939年奥本海默和沃尔科夫通过计算建立了第一个中子星的模型，他们的计算也只能给出一个比较粗放的结论，大致是说，如果恒星的质量是2到3倍太阳质量的话，那么，恒星最后会演化成为中子星。奥本海默是美国的原子弹之父，他的故事富有传奇的色彩。奥本海默是量子力学奠基人之一德国物理学家玻恩(Max Born 1882～1970)的学生，也正是奥本海默等人把欧洲的理论物理搬到了美国

Born是一个犹太人,他先后在德国柏林大学做教授，在法兰克福大学担任理论物理系主任，1921年，他还接替德拜成为哥廷根大学物理系主任。
1933年希特勒在德国掌权后，玻恩由于犹太血统关系被剥夺了教授职位和财产。他流亡到英国，他逃到英伦的时候风声很紧张,他一下轮船就看见路对面打着一横幅,上面赫然写着:born to be hanged，（可以翻译为“吊死玻恩”或者“生来就是要被吊死”，原文取意后者）。他以为英伦已经在他坐轮船来的途中沦陷，被希特勒占领了。
大吃一惊，心里大喊，莫非，莫非，真是天亡我也。其实Born没有想到的是自己的名字，born在英文里有“出生”的意思。1954年他和黄昆合著的《晶格动力学》一书，被誉为固体物理理论的经典著作。

（2）
中子星是当时物理学的一个十分交叉的领域，在1932年之前，还没有中子的概念。而这一切，又与量子力学有了千丝万缕的联系。从发现电子，发现中子，这些历史过程之中，人们渐渐地完善了量子理论，逐渐清晰地描绘了微观世界的景象

在哥廷根，Born的墓碑上刻着量子力学中最重要的不对易关系式：
pq－qp=h/2m。

在墓碑上刻数学公式，一般人是很少用的，波尔兹曼也用过，他的是S=klnw。这些人全是有点天才气质的，尤其是波尔兹曼，他是统计物理的杰出领袖。

Born的墓碑上的不对易关系其实就是所谓的“海森堡不对易关系”。这个关系是量子物理区别于经典物理的关键之处。（当然Dirac后来认为，这个区别的关键之处不是不对易关系，应该是量子物理的波函数的相位不定性。Dirac的意思是说，在两个波函数差一个相因子，在物理上无法区别，它们代表同样的量子态。）这个原理也叫不确定原理。不确定原理看上去是如此简单,以至于几乎没有人能拍拍胸脯说自己完全明白。甚至于可以这样讲，正因为这个不确定原理，使得量子力学几乎和爱情一样微妙。在大学里谈恋爱的男女，女生往往会提出这样的问题：“你确定爱我吗？”或者“毕业了你会不会离开我？”这个时候，男生往往不能做出很确定的回答。这种在爱情生活上的不确定性，往往被写进流行歌曲，描绘普遍的人性，歌声此起彼伏，比如：“随缘分过去你不再问/不懂珍惜此际/每每看着我伤心/只因你看惯我的泪痕/对你再不震撼/看见了都不痛心/如何象戏里说的对白/想恋一生一世/说了当没有发生/思想已永远退不回头/爱过痛苦一生/沾满心中的泪印”.

爱情的诺言不可以完全确定，这似乎也可以被解释是量子的不确定性在宏观上的表现。宏观的量子效应是普遍，比如说，超导，超流。再比如，有的人解释为什么人的活到差不多100来岁必然要死亡，原因是因为100年的生活，人作为量子计算的机器，积累了大量的量子错误，错误到了一定的程度，人这个系统就要崩溃了

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把宏观物体看成是一个量子态的思想经常出现，在以前的量子宇宙学里，人们曾经把整个宇宙看成是一个波函数，这个波函数的动力学方程是惠勒-德维特方程。也曾经被叫做爱因斯坦-薛定格方程。1999年的诺贝尔物理奖得主t‘hfoot 也喜欢把黑洞看成是一个波函数，或者说，认为黑洞跟超导一样，具有宏观的量子效应。

附带地说，还有一个经典意义上内在的机制，可以导致宏观上的不确定性。这就是所谓混沌，假如有3个以上星体一起彼此通过万有引力作用，它们之间的吸引力是距离得-2次方。这个传统的“三体问题”在很多年前由拉格郎日等人在某国王那里讨论过，当时讨论好象比较严肃，意义也很深远，就是讨论太阳系稳定性。这个事情的背后，全是冗长拖沓的历史
（3）
理论物理学有的时候显得非常不切实际，好象仅仅能娱人娱己，在中子星上，它能用于实际，再比如原子弹。先前是爱因斯坦搞出一个狭义相对论的公式，能量等于质量，E=m*c ^2。
奥本海默是原子弹之父。
他出生在有钱人家，他在做研究生时候，听人报告总坐在前排，因为他已经习惯于在人家作报告时候冲上去说照我看这里用这个方程会比较简单，然后拿起粉笔在黑板上狂写。很多教授作报告，只要奥本海默在场，都是作着作着就渐渐沦为一个配角。
奥本海默年轻的时候似乎有点从来不顾及他人之感受。但他的确是少数的几个实干家，学会了近似处理。在量子力学里就有波恩和奥本海默的近似，研究的是一群分子的群体行为，非常之物理。
等他后来回美国领导原子弹研发，落斯阿拉莫斯，集中了大量研究人员，曼哈顿工程细致缜密而且庞大过人，奥本海默体现出杰出的领导才能。原子弹爆炸成功后，奥本海默成为名人。正当他春风得意，开始有人说他是，有人说他是苏联的间谍，有人说他是……，反正是积毁硝骨，付出了名人的代价。他被万人的舌头压得翻不过身，于是想找原子能委员会或者FBI说个清楚，人家对他开始了不断的深入持久的调查，剥夺了他研究氢弹的权利

精神受到伤害的奥本海默，开始了他漫长的象岳飞在风波亭里的那样的人生历程。
研究氢弹的任务交给了的Teller，泰勒先计算了氢弹的威力，发现一旦氢弹爆炸，整个大气层就要燃烧殆尽。 这就是泰勒，一个很有想法的人，杨振宁说，泰勒是一个想法很多的人，他的想法，90%是错的，但他很敢想，也算是一个不错的物理学家。

（4）
中子星的理论和中子的发现密切关联。
1932年查得威克发现中子后不久，郎道就提出可能有由中子组成的致密星。查得威克发现中子，得到了诺贝尔奖，是在1935年。他发现的中子，理论计算利用的仅仅是高中生也能做的能量守恒定律，在他之前，居里夫妇其实也在实验上观察到了中子，也他们没有做出正确的解释。1934年巴德和兹威基也分别提出了中子星的概念，并且指出中子星可能产生于超新星爆发。 　
公元1054年，宋朝历史有关于金牛座超新星爆发的记述。《宋会要》记载："至和元年五月，晨出东方，守天关（现在的金牛座内），昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日"。这颗超新星爆发时视亮度超过金星，在白天也能见到，所以非常让人恐惧，现在在同一位置所看到的是它900年后的样子，它的形状已经变得像一只大螃蟹，因此被称为蟹状星云

在米斯纳，索恩和惠勒的那本关于引力的专著里，也提到了这件事情，并且引用了中国的古文。

1987年的2月23日，加拿大多伦多大学的天文学家谢尔登在智利北部的南天观测站发现了一颗距离地球约17万光年的超新星爆发，它位于距银河系最近的星系大麦哲伦云中，爆发的闪光星度是原来的几千万倍，裸眼就可以看到。在这样近的距离发生超新星爆发，谢尔登的这个发现立即轰动了整个天文学界，全世界所有天文台都进行了观测。这颗超新星被命名为1987A。这个超新星1987A的爆发，发射了无穷多个中微子，在地球上，引起了其他粒子物理学家的严重关注。格拉肖的su（5）大统一模型，也在这个时候，象一个建于流沙之上的华美城池，轰然倒塌下来。

（5）

超新星爆发时光芒万丈，比一千个太阳还要明亮,情景类似于原子弹的爆炸。爆发的结果是它或将恒星物质全部抛散，形成星际遗迹。或者抛射大部分质量，剩下的物质坍缩成白矮星、中子星或黑洞。 超新星的命运有这样三种不同的归宿，这三种不同的归宿，也代表几乎所有恒星最后的命运。对于黑洞，人们对其是心向往之，有将信将疑，因为在实验上观察到黑洞，好象不是一件轻而易举的事情。相反的，中子星的存在，早已经成为不能置疑的事实。在1967年，英国射电天文学家休依什和他的女博士研究生乔伊斯.贝尔发现了脉冲星。不久，世界陷入了喧嚣，但科学家门马上确认这个脉冲星其实就是快速自转的、有强磁场的中子星。 粗率地说，可以把这个脉冲星看成是一个磁铁，它的自转轴与磁矩有一个夹角，每隔很短的一段时间，辐射扫向地球一次
那个晚上，女博士研究生乔伊斯.贝尔第一次在显示屏幕上发现这个快速自转的中子星带来的强大而急促的脉冲的时候，这个夜晚显得非常诡异，这个女研究生，她几乎要惊叫了，因为她以为，这是外星人来了！！

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第十五章 史瓦西解
(1)

刚开始，有了爱因斯坦方程，剩下的任务就是解方程,爱因斯坦方程的解是度量函数，是10个方程组成的偏微分方程组，这个方程非常复杂，因为它不象一般的n次代数方程，后者人们可以根据代数基本定理，可以知道，有n个解。爱因斯坦方程到底有多少解，没有人能够说出来，虽然人们已经发展了一系列由已知解推出未知解的生成解技术，比如纽曼在1971年就从已经知道的RN解中生成了kerr-纽曼解，当然其中的生成过程用到解析延拓和复坐标系转换，可谓是变幻莫测。所谓偏微分方程，要想解答出来，很多时候就是靠特殊函数之类的方法。在我上大学的时候，第一次读到薛定格或者史温格不解偏微分方程，而用因式分解的方法，或者说，用超对称量子力学的方法得到一维偕振子的能谱的时候，我觉得整个世界是天昏地暗，那计算过程里的每一个字有豆腐干那样大，朝我迷糊的眼睛砸过来。
当时的我被惊讶。
原来，schrodinger方程这样的PDE，可以通过不解PDE来处理

从某个时候起，我看到Einstein方程，就会想，能不能不用PDE的方法，来解决它。

寻找爱因斯坦方程解的故事非常之长，国外有一本专门写这方面的书，叫《爱因斯坦方程的精确解》。国内也涌现过一些人解过爱因斯坦方程，比如，翻开尘封的历史之书，可以看到先驱束星北走过的崎岖山路：“束星北是我国早期从事相对论研究的理论物理学家之一。爱因斯坦广义相对论的引力定律，开始时只得到球对称静力场的近似解，随后Ｋ．史瓦西（Ｓｃｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ）得到球对称静力场的精确解。３０年代初，束星北曾试图推广到球对称的动力场，得到有质量辐射的近似解。……1950年代，Ｈ．韦尔（Ｗｅｙｌ）、爱丁顿和爱因斯坦想通过黎曼几何把引力场和电磁场统一起来，基本没有成功。其实早在1930年前后，束星北就探索引力场与电磁场的统一理论，他考虑了引力场与电磁场的根本异同，提出用质量密度ρ和虚数电荷密度ｉσ之和ρ十ｉσ代替广义相对论中的能动张量中的质量密度ρ，从而导出一级近似的复数黎曼线元，实数部分正好代表引力场，虚数部分正好代表电磁场，并由之进一步推导出麦克斯韦方程组和洛仑兹力方程。”束星北是国内研究相对论的先驱之一，是李政道在浙江大学时的老师，但他后来受到了政治打击。其人生经历现在留下人们谜一样的感觉，下面是简单的年表
１９０７年１０月１日　出生于江苏省南通。
　　１９２４―１９２５年　求学于杭州之江大学一年级。
　　１９２５―１９２６年　求学于济南齐鲁大学二年级。
　　１９２６―１９２７年　求学于美国堪萨斯州拜克大学物理系三年级　　。
　　１９２７年　 在 美国旧金山加州大学学习。
　　１９２７―９２８年　 经日本、朝鲜，过莫斯科、华沙到柏林、汉诺威等欧洲各地游历及工作。
　　１９２８―１９３０年　在英国爱丁堡大学攻读研究生，获硕士学位。
　　１９３０年　 在英国剑桥大学攻读研究生。
　　１９３０―１９３１年　任美国麻省理工学院研究生兼研究助教。１９３１年５月获理学硕士学位。　　
　　１９３２年　 任南京中央军官学校物理教官。
　　１９３２―１９３５年　任浙江大学物理系副教授。
　　１９３５―１９３６年　任上海暨南大学数学系教授兼主任，上海交通大学物理系教授。[ｃchｅrｅ.net 西西河 不爱吱声]
　　１９３６―１９５２年　任浙江大学物理系副教授、教授。
　　１９４４―１９４５年　被重庆军令部技术研究室借聘，研制雷达。
　　１９５２―１９５８年　任青岛山东大学物理系教授，海洋系气象研究室主任。
　　１９６０―１９７８年　在青岛医学院兼任教员。
　　１９７８―１９８３年　任青岛国家海洋局第一海洋研究所研究员。
　　１９８１―１９８３年　任山东和青岛市物理学会名誉理事长，中国海洋学会副理事长、名誉理事长。
１９８３年１０月３０日　病逝于青岛。

度量g是相对论中最基础的概念之一，它指的是两点之间距离长短，但因为是弯曲时空，所以，任意两个时空点之间的距离变得很奥妙。北京到杭州之间的球面距离，大约是1700公里，这个距离之所以能够出来，是因为，我们在地球球面上赋予了一个度量，这个度量是由3维平坦空间的欧几里得度量在球面上诱导而得到的。由此可见，假如知道了地球球面的度量，我们就可以算出距离。现在，粗劣地说，我们是要在爱因斯坦方程里解出度量
第一次真正解出这个度量来的人，就是史瓦西。
（2）
回过头来，让我们重新看一下爱因斯坦方程。
时空的几何用Einstein方程G_ab=T_ab描述，场方程左边只出现背景流形的度量(以及它的派生量)而右边只出现物质场的能动张量。


爱因斯坦场方程是一个张量方程，方程的成立是不需要坐标系的，但真正的计算必然是要选择坐标系，使得这个坐标系覆盖时空流形的某个区域。很重要的一点是，人们可以在同一个地方选择不同的坐标系，但真正的物理的东西是不依赖于坐标系的选择的，这就是广义协变性。通常的比喻是这样的：时空流形好象是一个房间，而坐标系好象是摄象机，摄象机可以从不同角度来拍摄这个房间。广义协变原理指出,无论怎么拍，都是反应同样的房间，房间是不依赖于摄象机的。

第一次世界大战期间，1916年。有一个人给Einstein寄来一封信，他说他找出了Einstein方程的一个解，想要请爱因斯坦帮忙在物理学的学术大会上代为发表。写信的这个人当时在俄国，他忙着在战壕里计算弹道。战争是惨烈的，生命在弹指间灰飞烟灭。四起的狼烟与隆隆的炮声似乎为运命太息

史瓦西在沉思。
他是德国的天文学家，当他死的时候，爱因斯坦不无悲戚地写了悼念的文章，文章的第一句是：死神从我们的队伍里带走了卡尔.史瓦西。

史瓦西考虑的情景是最简单的，他考虑的是一个不带恒星，不带电荷和不带自转，那么，这个恒星的存在将引起时空如何弯曲。

他得到了一个结论：

ds^2=－(1-2M/r)(dt^2)+1/(1-2M/r)(dr^2) +(r^2)[dθ^2+(sinθ)^2(dφ)^2] （5）

之后，他在冬天的战场上得了严重的皮肤病。
等他跑回德国就匆匆地离开了尘世。
一生象闪电般出现流星般消失。


（3）
公式（5）描写了史瓦西时空的弯曲情况，这是一个很数学的结果。要清楚地看到它的弯曲情况，后来的人做了很多工作，人们还试图把史瓦西时空嵌入到更高维度的时空之中。这样人们看问题会稍微清楚一点，Eisenhart有一个定理说，如果n维Ricci平坦的流形可以到n+1平坦空间，那么n维流形必然是Riemann平坦的。但4维史瓦西时空不是Riemann平坦的，它仅仅是Ricci平坦，所以它不能嵌入到5维平坦空间。但它可以嵌入到了6维平坦空间。

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第十六章 伯克霍夫定理

(1)

史瓦西解是真空爱因斯坦方程的球对称解，于是，有一个很自然的问题就是，真空爱因斯坦方程的球对称解是不是一定是史瓦西解？答案是肯定的，这就是著名的伯克霍夫（Birkhoff）定理。Birkhoff生前来过中国,他是一个美国数学家。要想在直观上理解伯克霍夫定理，不是一件容易的事情。史瓦西解实际上不是覆盖整个时空的，它的外部解大致可以描述太阳外部的时空弯曲的情况，假如不考虑太阳的自转。这个解很有实际意义，因为地球运行在被史瓦西解刻画的时空之中。这样的时空到底有性质呢？地球每一年绕着太阳转一圈，它的轨道每年都几乎是一样的――这一点很重要，假如地球和太阳之间的距离，是随着时间而变化的，换句话说，假如地球一会儿离太阳很近，热得要死，一会儿又离太阳很远，冷得要死，那么，这样的时空就不是我们所熟悉的史瓦西解所刻画的时空了。史瓦西解刻画的空间不随着时间演变，大致地称这样的时空为静态时空。当然这是一个很不严格的说法，在几何意义上，要想定义静态时空，首先要定义稳态时空
稳态时空的定义是说，时空区域存在一个处处类时的killing矢量场。这相当于说，度量演时间平移不变，也就是时空具有时间平移的不变性。粗率地说就是存在这样的度量矩阵，使得这个矩阵的各个分量对时间求导全是零，如果是这样，人们就说，时空是稳态的。如果时空不但稳态，而且存在与该类时killing矢量场正交的超曲面，那么，这个时空就是静态时空，不但具有时间平移不变性，而且具有时间反演不变性。

史瓦西外部（r>2M时）线元：
ds^2=－(1-2M/r)(dt^2)+1/(1-2M/r)(dr^2) +(r^2)[dθ^2+(sinθ)^2(dφ)^2]

观察一下这个度量，坐标t是时间吗？抑或r是时间？因为是外部解，r>2M，所以线元的第一项是负的，第一项表示时间项，也就是说坐标t是时间。那么，度量矩阵的各个分量对时间求导全是零，可见，史瓦西外部是稳态的。而要判定它是不是静态的，就需要证明这个类时killing矢量场是超曲面正交的，在数学上有复杂性，原则上就是用到微分几何的佛罗般尼斯定理
非常粗拙地说：证明一个矢量场与一个超曲面正交，还有一些可能是思路，比如要证明某矢量场与一个二维球面处处正交，可以用反证法，假定这个矢量场与球面相交处处有切分量，于是在球面上就有光滑的切矢量场，但这些切分量不可能光滑地布满整个二维球面――原因是因为Hopf―poincare的指数定理，于是，只好让所有的切分量全退化，那么，这个矢量场就与二维球面处处正交了。

（2）
已知了静态时空的定义，回头来看宇宙，因为宇宙是不是静态的，这是一个很重要而且迫切的问题，爱因斯坦曾经有一段时间，深受牛顿等人的影响，认为宇宙是静态的，或者说，爱因斯坦那样深刻的人，也曾经错误地认为，宇宙是一个存在，它亘古不变。

勒梅特（Lemaitre.Georges）生于1894年，在中国来讲当时正好是中日甲午战争时代，他后来是比利时的天文学家和宇宙学家，提出了现代大爆炸理论。他的理论认为宇宙开始于一个小的原始“超原子”的灾变性爆炸。后来他的这个理论被伽莫夫所发展，大爆炸宇宙论的影响力空前高涨。第一次世界大战爆发了，年轻的勒梅特作为土木工程师在比利时军队中担任炮兵军官。战后，他进入神学院并在1923年接受神职,担任司铎，也就是一个神甫，故事也就在这个时候，要开始了，历史选择了他来拉开现代宇宙论的帷幕，作为一个神甫，他可能有一个考虑，就是要证明上帝创世。1923年，也是美国加洲维金森山天文台上的哈勃开始观察到星系红移的时刻。1923年和1924年间，他在剑桥大学太阳物理实验室学习，后来又到美国麻省理工学院学习，在那里他了解了美国天文学家哈勃的发现和H.沙普利有关宇宙膨胀的研究。他在1927年任卢万大学天体物理学教授时，正式地提出宇宙大爆炸理论，用这一理论，哈勃发现的星系的退行可以在爱因斯坦广义相对论框架内得到解释。当时的爱因斯坦还是不相信勒梅特的理论，他认为勒梅特的物理不行。但是到了1931年，爱因斯坦已经确定知道是错了，于是他去了加洲，会见了哈勃和勒梅特。会见结束了，爱因斯坦认为，这是他一生最愉悦的会面，他接受了勒梅特的大爆炸宇宙学说。爱因斯坦再次认为，自己在爱因斯坦方程里引进宇宙学常数，这是他一生最大的错误
这已经是很久以前的事情了，现在看来，大爆炸宇宙模型在大方向上完全是正确的。而用来描述大爆炸之后的宇宙，最好的度量就是RW度量，当然因为富里德曼在1922年就从爱因斯坦方程里解出了非静态的宇宙，所以这个度量又被称为FRW度量。可是，当时的富里德曼把论文投出去的时候，爱因斯坦是审稿人，他很快地枪决了富里德曼的论文，富里德曼写信申辩，爱因斯坦就不再管了，于是，富里德曼被埋没进了历史。

FRW度量描述我们的宇宙，这个度量把银河星系当作是尘埃。而星系之间的距离是在膨胀的，而至于星系内部，这种膨胀效应就是很小很小了。这因为这个原因，我们才没有感觉到太阳在渐渐地远离地球。星系之间的膨胀用哈勃定理描述，哈勃常数有一个几何解释。一个参考系也就是一个类时矢量场，一般有三个指标：膨胀，剪切，扭转，哈勃常数正是宇宙标准参考系的膨胀。这个类时矢量场的扭转为零，扭转为零的矢量场是超曲面正交的，这个超曲面，正是我们宇宙的空间部分。

升天ing

这几页文章连起来，出本书都不成问题...