相对论通俗演义

仰望星空

作者： 张轩中
广西师大出版
美妙的爱因斯坦引力方程

    人类历史,始于蒙昧.置身悬崖,若无必死之心,望而却步.引力做功,碎骨粉身.虽引力乃最弱之力量,然其统治整个大宇宙之脉搏呼吸.亚里士多德指出引力秘密,为世人所奉.而千年之下,伽利略用思想实验,得自由落体真谛.此情此景,历历在目.几百年来,比萨斜塔,默默无语.上帝造物,宇宙洪荒,乃至牛顿,方显露一丝天机.牛顿引力,F=GM1M2/R2.方程曼妙,让人叹为观止.

   牛氏遗腹,少年孤冷,其引力方程,上穷碧落.下至黄泉.玉兔升空,苹果落地,牛顿方程,半窥天机.方程横空出世,世间犹惊.返谷溯源,乃开普勒之鞠躬尽力.开普勒于月牙高台,夜观天象,夙夜不眠.经济窘迫而身形憔悴,然于故纸之间,发行星运动之三定理.此乃呕心沥血之作也.

   红尘百草,阡陌凋零,牛顿之后百年,法拉弟铁匠之后,瓮壅绳黍之子,其英雄气长,研习安培之环路电流.奥斯特发现电可成磁,法拉第十年一剑,磁能产电.此间十年,实验无数,遍尝失败.电磁相生,法拉第立场论.隔四十年,麦克斯韦设位移电流,写积分方程,电磁统一大成.然方程之中,未现磁单极子.狄拉克沉默寡言,深思熟虑,考虑量子力学,得电磁对偶.若单极存在,焉能以单一磁势复存在?此乃纤维丛也.

    场论既成,天下太平.爱因斯坦,犹太之子,叛逆之徒,其遍习引力历史,深通场论之奥义.厚积薄发,终成绝响.麦氏方程,天生超越伽利略之单纯空间变换.闵可夫斯基,乃得四维时空变换,保持麦氏方程,彭加莱亦有所闻,一时间群雄并起,狭义相对论,若隐若现,爱因斯坦,确凿物理实在,于线性时空变换下不变.若较爱因斯坦之于彭加莱,彭氏深谙数学,而爱氏直指背后物理,深邃迥异于常人.此西元1905,爱因斯坦,声名鹊起于天下,此洞见时间须于空间一起,共同进退,乃千年来最广博深远之发见,天下惟此一人.

    历史机缘巧合,全在暝暝之中.狭义相对论已大白于天下,然世间之人,依然不知所云.所谓动尺收缩,此中可见牛顿方程,水火不容于狭义相对论.牛顿引力,描述空间两点之距离,然空间两点之距离不复绝对,牛顿引力,势必依赖于观察之士.物理勿须依赖于观察之士,乃物理之基本也.爱因斯坦,深味其中悲哀.方十一年,其演习黎曼几何,工于张量计算.友士格罗斯曼,居功至伟.数学家推动物理学之发展,此一例也.爱因斯坦日复一日,确信物理之规律,为人力所不能撼动,须臾之间,乃相信物理之规律,应于人人平等.其思辨于升降机中遇见等效原理,偶遇一生之最快慰思想.自由落体,于其深邃双眸,复现璀璨光明.

   物理于几何,一衣带水.黎曼几何,天才之手,问世三十余年,遂转入爱因斯坦之手,发扬广大,天下人膜拜而熟习之.爱因斯坦引力方程,几何等于物理.G-ab=T-ab.方程美妙.意味隽永.此西元1915,希尔伯特,殊途同归,翁乃数学界之泰山北斗.引力历史于数学物理两家携手推动,此后数十年,荒烟蔓草,.爱因斯坦方程未绝于物理学,虽人迹罕至,丛生皆云高山仰止,引力冷艳孤傲.转念人生几何?众生嗟问.爱因斯坦于渺茫太虚时空答曰:几何乃引力也.

   人生不相见,动若参商,然其宇宙洪荒之回音,余音绕梁.之后数十年,黑洞兴起,宇宙加速膨胀.一切归于漫漫黑暗.

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第一章早期的英雄时代

（1）
历史是淹没在荒烟蔓草间的，当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英雄史诗，虽然模糊不清，但让你感觉到心潮澎湃。相对论一直是地球上最美丽的学问。这一门学问是爱因斯坦创立的。它最根本的看法，是研究我们的宇宙，因为宇宙只有一个，而我们身处其中，于是，很多人难免担心，我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙。正如你的一个手掌，能不能认识你这个人。这个问题是玄妙的，中国古代的庄子和屈原等人也思考过这样的问题，他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为他们没有具备一些数学描述。宇宙洪荒，是很玄很妙。问题的关键在于如何认识它，很多人的思想在这里汇集。尤其是苏东破的一句诗，被认为可以体现一种思想情操。他说：不识庐山真面目，只缘身在此山中。苏先生是一个很大的才子，他的这个诗本身是具有哲理性的。当我们把他运用到这个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否，我们处在宇宙之中，所以，我们无法认识宇宙的真面目。这个问题本身没有唯一的答案，从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科学家的态度。

爱因斯坦说：宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。可知论和不可知这两种论调是人类个体的分水岭。但这样分界是不明显的，很多人从来没有问过自己，自己到底属于可知论者还是不可知论者。很多时候，这样的分类也是缺乏意义的。但，一个事实永远存在，就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心。

（2）
我们仰望星空，俯仰天地。态度决定一切。在认识宇宙，或者说，认识未知世界的道路上，尸横遍地。数学家们，相对于其他的一批人，以其特有的执著和特立独行，来给这个宇宙造一个描述的工具。并且，这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本。绘画和音乐，描述世界，但依赖于眼睛和耳朵。而数学，有一个最基本的依赖，它依赖于大脑。有理由相信的一点，是我们地球文明之外的文明，他们那些智慧生物可以没有眼睛，没有耳朵，但他们不能没有大脑。

毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家，他认为，世界的本质是数。他的说法听起来好象是有点夸张了，但初衷是善良的，不是说他要故意压迫那些非数学家。2，3，5，7……这些的数字，我们称为素数，它们是基本的。人类要向外太空发射信息，寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”。因为，宇宙的各个角落，要是也有文明的外星人，他们收到这样的信号，会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示。

预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独。

数是基本的，但广义相对论却更多地和几何学发生了关系，这一点在后面的篇幅中再逐渐展开。当然，有一位得Fields 奖的数学家道格拉斯曾经说过：“我的切身体会是，几何学家是好人。”他的话里面有温情脉脉的情感因素，但修正他的话，我们会发现是这样：“我的切身体会是，数学家是好人。”

是的，数学是仰望宇宙的透镜。

在古代的数学家中，有一个人，他让我们知道，寄生在这世上是那么好，这个人的名字是欧几里得。

（3）
欧几里得写的一本众所周知的书，叫《几何原理》。这至少是2000 年前的事情了。但中国人看到这书的时候，是在明朝的徐光启时代。也就是说，中间有至少1200 年的时间差距。我不想查书用来精确表示这些年代差异，是因为我不是搞历史的，也不想过于在一些琐碎的事情上精密无比。

《几何原理》里有五条公理。虽然一般人说不全，但第五条说所有平行直线永不相交。这一条大家全知道，被叫做第五公设。也就是说，有的人认为，这一条，不能做为一个公理，因为它可能可以被其他公理推出来。
《几何原理》好象是一个大厦，它有五个巨大的石头做为地基。但第五块石头，有的人认为，有问题。

爱因斯坦的相对论，与第五公设这个问题休戚相关。当然，我不预备在这里做任何数学的证明，通俗的演义往往与数学相隔遥远，我们引用爱丁顿的话：证明是一个偶像，数学家在这个偶像面前折磨自己。第五公设折磨了一代又一代的人。现在看来，这个折磨已经结束，但其意义非常深刻。欧几里德的几何学，是关于平坦空间的几何学。而真正广泛的几何学，它不仅仅要处理平坦空间里的情景。Riemann 是研究弯曲空间几何学的大师。他死的时候才39 岁，但他活着的候一直很优秀，1854 年，他为了在哥廷根大学获得一个讲师的职位，发表了一个关于几何学的演讲，演讲的题目是《论几何学的基础》，这次讲演是开天辟地的一个壮举。下面的听众很多，但据说，几乎没有人能够听懂，频频点头表示赞同人只有一个人，是一个老头，名字叫Gauss。 这个故事发生在Riemann 为了得到讲师职位的时候，有的人可能会觉得很奇怪，为什么一个讲师讲的东西在那大学里别的教授全听不懂。这样的现状是存在的，并且是不能避免的，只说明Riemann 实在是太有才华了。一般地，在一所很好的大学，无论是古代还是近代，都可能有这样的感受：博导不如教授，教授不如副教授，副教授不如讲师。

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这是正常的好大学必须的。我们知道，在当时，Riemann 讲师是最伟大的，他后来的贡献繁多，以其在微分几何和复分析里的伟大建树影响历史，现在的Riemann 猜想还在领导数学的潮流，在物理学里，Riemann 的级数在量子场论中经常出现，在相对论中，研究casimir 效应，也要用到。

Riemann 几何的出现，给爱因斯坦的引力理论，提供了一个先天的数学工具。历史表明，数学物理在这个时候，达到了一个全新的高度。
（4）

今月也曾照古人。这是李白说的。看到月亮，很多人有一些基本的问题，比如说，1640年左右，也就是中国的吴三桂引着清兵进入山海关的时代。英国的cambridge 大学有一个叫牛顿的人，他解决了一个问题，按照现代语言来说，是牛顿发现了万有引力定律，从而解释了为什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后，我们才真正看到了物理。而相对论，就是研究万有引力的。

牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大家。牛顿和爱因斯坦是人类历史上科学巨匠。但牛顿本身，相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概。他的工作显然是划时代的，其情操，也是划时代的。在历史上，他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。同时代的那些伟人在他面前，几乎全掉了颜色。我们只能由衷得叹上一句：到底是牛顿！

在人品上，牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物，藐视同伦，普通人是做不到了。牛顿的万有引力定律，仅这一项，就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发现。盖棺论定得说，牛顿其人，500 年不朽，牛顿其文，1000 年不朽。1000 年以后，世界末日，什么都朽了。

（5）
物理学也有最初的童稚时代，比牛顿要早，是哥白尼的出现，后者写了一本书，书名叫《天体运行论》，出版是1543 年，出版的时候，作者已经快死了，原因是因为这本书是一本很****的书，著者选择在临死之前出版它，是一种对自己负责的态度。这本书主要说了一个事情，就是地球是绕着太阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展，早于康德和拉普拉斯的星云说时代。康德是一个德国的哲学家，一辈子没有出过一个叫哥尼斯堡的小镇，但其了解天下事，康德说，只有两件事情可以震撼我的心灵，一是人类的道德情操，一是我们头顶的星空。可见康德多少对星空有点研究，他可能认为地球上的一切，全来自星云的演化，这是一个比生物进化论更强大的进化的观点。拉普拉斯是19 世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过行政。国王拿破仑是一个数学爱好者，他曾经有一个拿破仑定理，是很有点意思的。定理说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边三角形。当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑。拉普拉斯微分算子，这个微分算子的背后是一片汪洋大海，这个算子描述定态的薛定格方程，所以在物理上也是很有用的，真正有思想的人，往往会在三角形区域解拉普拉斯方程。

这个拉普拉斯微分算子可以被开方，得到dirac 算子，dirac 算子背后是一片原始森林，因为dirac 是20 世纪最伟大的物理学家，他和薛定格一起得到1933 年的诺贝尔奖金。薛定格说：“我们得奖的时候，dirac 还非常年轻，我是带着我老婆去领奖的，但dirac 是带着他妈妈去的”。由此可见，dirac 是一个非常年轻有成绩的物理学家。是他走出了把狭义相对论和量子力学结合起来考虑的道路。关于这些算子理论，极大地推动了数学的发展。也是从算子的谱开始，我们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究。而离散的性质，恰恰是量子力学的精髓之一。当然经典物理学中也有离散谱，例如驻波。

回头来看哥白尼的工作。他的工作说明，人类第一个较明智的科学看法，不是研究宇宙如何起源，演化，而在于研究太阳和地球的关系。这是一个很务实的进步。就是在现代，虽然有精确宇宙学这样的学问，研究宇宙如何膨胀，如何加速膨胀，但前路漫漫，让不专门从事理论物理的人瞠目结舌地怀疑，是否目标过于庞大，你们居然研究整个宇宙，把星系当做尘埃？

相对论学家似乎存在一个情节，那算是一个单纯信仰，他们认为，世界可以被还原为一个单一的原理。而凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，有不同的物理。比如人类的存在，人类的情感和思维，不是物理学的单一原理可以解释的。统计性和自组织性的出现，使得在相对论学家的眼睛里，这个世界变的高深莫测了。无论如何，相对论还是一如既往地奢侈和不切实际，因为，它是预备去理解宇宙。

（6）
20 世纪之前的所有年代，相对论还没有诞生，我统称它们为“英雄时代”。在这个漫长的时代里，有无数的数学物理两门学科里的英雄人物，这批人中的杰出代表是牛顿。这个时代是一个古典为主的时代。而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束。广义相对论是“经典的极致”。在字典里，“经典”应该有两个意思，一个是古代的，古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书。这样的美是很少见的，往往在平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美。

在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动。他认为太阳绕地球转动，现在看来，也算是没有错误。为什么？因为，机械运动是相对的。谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对的”。所以说，按照牛顿的看法，描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的，虽然它可能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动，那么我们这个太阳系看上去还真是乱糟糟的，一点也不优美了。但托勒密在平面几何里关于圆的内接四边形的一个定理，是天籁之声。这个定理是美的。这样的数学之美，与同时代的屈原对香草美人的美来比较，我们看到一点西方的数学逻辑的辉芒。

dirac 和爱因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相对论，恰恰给我们展现了一个数学逻辑上的美感。这个美，引得无数英雄竞折腰。是的，我们全是一群在朝圣路上踽踽独行之人。

壮美矣！爱因斯坦！！

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第二章一个美丽的椭圆

（1）
1543 年，哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意哥白尼的观点。他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士。据说第谷年轻的时候与人斗殴，被砍掉半个鼻子，所以他后来有半个金鼻子，长相显得非常怪异。他开始夜观天象，并且整理了一套看上去杂乱无章的数据。这套数据，最后保留着给了他的助手，一个叫开普勒的人，但第谷的本意，好象是想把这些数据传给自己的女婿的。开普勒一生生活是相当潦倒的，最后还死在讨债途中，那是在1630 年，他几个月领不到薪水，经济困难，不得不亲自前往雷根斯堡的基金会索取，在那里他突发高烧，几天后在贫病交困中去世。他去世的时候，觉得自己非常对不起自己的老婆孩子，因为他把自己的一生精力，全花在研究天文学和写书出版之上了。他在出版书的时候，据说，第谷的女婿还给他写了一个序文，这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就。这样子的书是很奇异的。

但开普勒的几本书《新天文学》和《宇宙和谐》先后给出了3 个行星运动定理。第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点之上。他实际上没有想到，未来会表明，一个封闭的椭圆是一件过于唯美之事，因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动，我们不能得到一个封闭的椭圆。第二个定理异常强大，他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢径在单位时间扫过的面积相同。第三个定理，似乎绝对是上帝的旨意，要从一组数的三次方和另外一组数的平方中看到不变量，依靠一般凡人的眼睛，往往不够，这个定理说的是行星运动周期的平方和轨道半径的立方成正比。这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律。万有引力的出世，其实来自于开普勒对数据的千万次摸排。开普勒的视力不好，相比第谷，他显然不擅长天文观测，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力。这往往是一种从天上看到人间的天赋异禀。他的行星运动第一个定理里，开始出现一个完美的椭圆。

(2)
一般说来，一个椭圆是封闭的，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量，是伟大的德国女数学家Noether 的思想，数学家外尔曾经这样开玩笑：“女数学家有两种，一种不是女的，一种不是数学家”。没有问题，Noether 肯定是一个数学家，她一辈子没有结婚，把全部精力投身给了近世代数。某个时候CN.yang 认为，Noether 的这个原理是最基本的，于是，国内讲力学的教材开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和守恒量有一一对应的关系，这一点，是深刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。于是，行星运动的轨道是封闭的椭圆，这样的对称性导致的守恒量就是龙格—楞次矢量。

什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何里的事情。在Fermat 和笛卡儿的解析几何里，人们换了一个看法，那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来，这样的想法把代数和几何结合起来，这样的结合是思想的奇葩，包括后来在物理中经常运用的所谓su（2）李群，从代数的角度去看一下，就可以知道它其实就是一个3 维球面。解析几何的一个很直观的推广是能不能把一个实n 维流形嵌入到高维间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情Nash 和chaw 伟良等人做过了。

解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，才可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，完美的椭圆似乎突然让人迷惘。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的一般不会算。

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（3）
计算椭圆周长的问题也难住了牛顿。虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里，Bertrand 定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微小偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大，广义相对论的修正最明显，之前人们已经观测到水星近日点存在进动，也就是说，人们开始注意水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆，但没有人可以解释这到底是为什么。既然轨道不是椭圆，我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势。这似乎应该意味着一个曙光的黎明，相对论然比较难以理解，但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了。原来，牛顿的万有引力定律，那样美的一个定律，在引力比较强的时候，也是不对的。

爱因斯坦的广义相对论解释了水星近日点的进动，这是对广义相对论的三大验证之一。1919 年的时候，英国天文学家爱丁顿利用日全食的机会，他领导下的实验证明了光线偏折的规律也符合广义相对论的预言，这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论。当时也就是第一次世界大战，德国和英国是敌对国，所以这个实验的成功的时候，大众的眼球被吸引了，报纸的头版是这样的：英国科学家支持了德国科学家的理论。当爱丁顿做出这个实验的时候，他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法是他认为自己和爱因斯坦是当时唯一懂得广义相对论的两个人。而当记者问爱因斯坦说，当您的理论被实验证明是正确的时候，您怎么想？爱因斯坦的回答说：没有什么好奇怪的，上帝安排的，我不相信还会出现别的结果。

（4）
虽然1919 年，牛顿理论已经被实验证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代，但牛顿依然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比，虽然有点抬举库仑，但马上会发现牛顿的意义有很多。牛顿的万有引力定律，实际上告诉人们，质量总是正的，也就是万有引力总是相互吸引，这样的话，宇宙似乎不能跟一个孕妇一样，不由自主地膨胀。但目前观测到的宇宙，它居然在膨胀，并且还是加速膨胀。对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起。但这个问题，已经成为了21 世纪物理学晴朗的天空里最大的一个乌云，这个乌云似乎要覆盖整个天穹，让人分外地不安。情况就是这样的，物理学家本来以为自己已经快了解了整个宇宙的100%，后来突然被一声闷雷惊起，一个声音说，“无知的狂妄，你仅仅了解我的4%”。质量总是正的，可能让人想起经典广义相对论中著名的正质量猜想。有的人会想起1980 年代witten 和Schoen 和Yau 对该猜想的的证明。

当然，如何定义质量，在广义相对论中，也是一个具有不止一个标准答案的问题，在正质量猜想里的是ADM 质量（Arnowitt，Deser，Misner）。在这里，我们几乎可以挥别牛顿了。

有一个叫伏尔泰的法国人，他也曾经研究了一下牛顿的事迹，现在关于牛顿和苹果落地的这些故事，多数也是出自他的手笔。伏尔泰是一个能力很强的文科圣手，他还勾引了一位公爵的老婆，也许是相互勾引，——后来两人一起私奔。

1727 年牛顿逝世，思想界的巨擘辞世，伏尔泰参加了葬礼。牛顿84 岁离开人世，为他抬棺材的是两位公爵、三位伯爵以及大法官。伏尔泰是这样描述的："他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被安葬的。在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣。在他之后，如此厚葬的也将是屈指可数。"牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价，说：自然规则在黑暗里，上帝说，让牛顿干吧！于是一切大放光明。

牛顿是一个聪明人，他几乎能从容应对所有非常的局面，但他不是完人，他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方之和，也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展，我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭圆积分表达出来。而另人惊奇的是，挪威数学家Abel 证明了五次方程没有代数解答，但有些五次方程的解，Hermite 证明可以通过椭圆函数来表出。这说明了数学的各个侧面具有统一性的一面。而相对论在经历了1970年代之后的多年的沉寂以后，面临着一个引力量子化的命运。在量子引力的理论中，椭圆函数等等，也全面都浮现出来。所以，这个完美的椭圆，告诉我们不少秘密，盯着一个椭圆看很久，里面全部是秘密。有一句箴言：一花一世界，一沙一天堂。

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第三章等效原理

（1）  
1841 年，中英鸦片战争在进行之中，西方远远地领先于中国，22 岁的剑桥大学数学系的学生亚当斯根据牛顿万有引力和天王星运动的轨迹，假想有一颗未知的行星在天空运行。他经过一年的计算，猜测出这颗可能的行星的轨道。1843 年10 月，他把自己预言的这颗新行星的轨道寄格林威治天文台台长。但是，这位天文台台长对亚当斯的信不予理会。他严重地不相信这个年轻的大学生会在笔尖发现一颗新的行星。  

另一位法国青年天文学家勒维耶也在研究这个问题。他也推测是因为存在一颗未知行星的引力作用，使天王星的轨道运动受到干扰，也就是天文学上所谓的“摄动”影响。他计算出这颗行星的轨道、位置、大小，然后请德国天文学J.G 伽勒寻找这颗未知的行星。1846 年9 月23 日，伽勒根据勒维耶预言，只花了一个小时，就在离勒维耶预言的位置不到1 度的地方，发现了一颗新的行星。后来这个新的行星被命名为海王星。发现海王星的那一年，勒维耶35 岁。

亚当斯和勒维耶所做的工作，类似与同时代的门捷列夫，门捷列夫通过对元素卡片的一次又一次地排列，预言了大量的未知元素。水星也是太阳系的一颗行星，它在近日点时也有类似于天王星的不遵循轨道运动的现象。1855 年，勒维耶根据他发现海王星的经验，预言在水星轨道内有一条行星带（他认为是水内行星而不是行星带摄动，并命名为火神星，或者祝融星）它影响了水星的运动。这一次，勒维耶失败了。这一次失败有点象后来的物理学家泡利，泡利因为根据能量守恒而预言中微子的存在，声名雀起，但又相信宇称守恒而预言上帝不是一个左撇子，遭遇失败。但勒维耶发现海王星，在这之后的确没有人再怀疑牛顿的万有引力。但20 世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，这为万有引力定律掘墓。事实似乎说明，椭圆不能精密描述行星运动。在另外的一个侧面，抛物线出场了。在这里谈及的曲线还全是空间里的曲线，不是时空中的世界线，世界线是相对论中最基础的概念之一，大概意思是把一个空间点拉长成为一条线，而Dirac 方程在粒子的世界线上引入了超对称，这样的看法还为时尚早。  

伽利略(1564 ~ 1642 年)，出生于意大利的比萨,他从小就喜欢思考。十七岁时进入比萨大学念医学。在他的学生时期,他看到吊在教堂圆型天花板的灯的摆动,发现了钟摆周期只与摆线的长度有关，而与摆角和摆锤的质量无关，这真是一个出人意料的发现，简直可以作为上帝存在的明证，他的这个发现，大致上就是发现了简谐振动，简谐振动是一个二阶常微分方程。

他是那个黑暗时代的先知，同时是英雄时代的伟大导师，聪颖过人，心比天高，这一点可以从他的两个思想实验里看出来。这些思想使得牛顿认为自己是站在巨人伽利略的肩膀之上。

第一个思想实验是用来说明自由落体运动的。虽然据说他后来也在比萨斜塔亲自做了这个实验。但他的思想实验，却似乎更加可信，甚至不能辩驳。他说：“不考虑空气阻力，轻的东西将和重的东西同时下落，它们将同时落地。因为假如亚里士多德是对的，重的先落地，而轻的后落地，那么，倘使我在它们两个之间连一个无质量的刚性细绳，可以想见，总质量大于它们两个的单独质量，于是，按照亚里士多德，这个整体将落的更快，但事实上，轻的东西一定会拖重的那个的后腿。于是这就自相矛盾。可见，亚里士多德是错误的，轻的东西和重的一样，必然需要时刻有相同的速度，它们同时落地。”

这个思想实验，使得人们认识了自由落体运动的思想精髓。自由落体成为相对论初期研究的一个专门武器，爱因斯坦据此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年是1642 年，同一年牛顿诞生，而其自由落体的思想一直到20 世纪初，依然为爱因斯坦所沿用，并且在1907年灵光一现，发现了等效原理。这有一点类似九方皋相马，普通人往往跟伯乐的儿子一样，只知道按图索骥。

——而爱因斯坦，却在一个古老的思想里发现了新的真理。

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（2）
抛物线是圆锥曲线的一种，它的非线性性质在混沌动力学中被经常利用到，然后平地起惊雷，说，周期三导致混沌，出现了周期三，其他什么周期都将出现。可见，从抛物线出发，往往能够深入浅出。在教室里斜抛一个粉笔头，它总是画出优雅的舞线。假如没有空气阻碍，其轨迹是一条抛物线。其运动可以被简单分解，在竖直方向上，它是带初速的自由落体运动，在水平方向是匀速直线运动。

一个最简单的计算可以表明，以相同的初条件斜抛出不同质量的物体，其运动轨迹是抛物线，这些抛物线全部是可以重合起来的，因为它们一模一样。不同的质量，相同的轨道，这说明，运动轨道与质量没有关系，这一点与单摆一样，再次证明上帝存在，抛物线和单摆是处在引力场中的，它们这样的现象，说明这好象是一个内禀的几何效应。  
  
简单的抛物线，用一种返璞归真的语言告诉年轻的爱因斯坦，引力，是一种几何效应。1907 年,有人请爱因斯坦写一个介绍狭义相对论的综述文章,写这样的文章,使得爱因斯坦重新全面地审视了一下自己的理论和周围的世界。狭义相对论是在1905 年建立的。当时的爱因斯坦依然在伯尔尼专利局,他坐在书桌边，突然遇见了一生中最快乐的思想——等效原理,“我正坐在伯尔尼专利局的桌旁,突然出现了一个想法,‘如果一个人自由下落,他将感受不到自己的重量’。”  
  
换一句话说，引力质量等于惯性质量。爱因斯坦把这个称为等效原理。物理学家曾经发现了一些等效原理一样的方法来处理问题，比如电学理论中，最让人瞠目结石的一个关于电路的定律，不是基尔霍夫的。它叫“戴维南定律”，用来处理一个等效电动势。其背后的数学，不是瞬间能想清楚的。但无疑的是，等效的方法，极大简化了模型的复杂性。在某个程度上，爱因斯坦从等效原理出发，建立了广义相对论。当然，比如synge 等人就认为，等效原理虽然让爱因斯坦一生最快乐，在相对论建立过程中就象一个接生婆，但现在，接生过程已经完成，相对论应该体面地埋葬掉这个接生婆。

synge 是一位极早期就用几何语言来表述广义相对论的人，内心有一种不被世人理解的苦闷。他的话虽然有点过河拆桥的意思，但动机也是很不错的。因为，凡是懂得等效原理的人，十之八九会以为，一个自由下落的观察者，他所看到的时空总是平坦的。但几何学家一定不同意。因为时空是否平坦，就是说微分流形是否平坦，只依赖于它上面的度量，而不依赖于坐标系。

同时代的人群之中，爱因斯坦是第一个想到等效原理。这个原理使得人们发现了一些引力场不同与其他场论的地方，造成巨大的困难。比如一个人朝太阳掉下去，按照等效原理，在他看来，他没有感受到任何引力，相当于他没有测量到引力场的能量。这明显不同于电磁场的情况。比如电荷，是一个局部的电荷密度的，满足连续性方程，电荷受恒。引力能量有没有局部的密度？这个问题看上去似乎谁都要扪心自问，但寻找它的答案，相对论学者们一度衣带渐宽，人来人往，一次一次开会讨论，但好象全是在looking for the right answer to the wrong question。黑暗由此产生，人郁闷了。

引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲。准局域（quasilocal）的定义应运而生。德国的Nester 是最初的倡导者和专家,这个人现在台湾的国立中央大学。

当然大范围地定义一个时空的能量或者质量是可能的，比如Komar 有一个定义，这个定义只要求时空存在一个类时的killing 场，就可以定义一个包围在2 维球面内的空间的总质量，并且，这个总质量跟包围它的2 维球面的选择没有关系，这就很象电动力学里的高斯定律了，说的是，对点电荷的电场强度计算通过包围它的曲面的通量，结果是点电荷的电量，与曲面无关。  

（3）
爱因斯坦在1907 年还没有写出他著名的爱因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最闪光的部分。直观地看，似乎类似于圆是弯曲的，但可以用正多边形来逼近圆的周长。但一个人要真正看清楚背后的东西，需要不止一天的时间，正如很少有人能清楚说明圆周率和自然常数和自然数一之间的关系。为了数学地理解等效原理，爱因斯坦在1907 年之后的这段时间内自觉地转向Riemann 几何，他需要跟他的老同学数学家格罗斯曼合作学习微分几何，那里有一些名词，比如联络，克氏符，曲率张量。等他建立起相对论，微分几何学得到了物理学的推动，开始大步发展，广为人知，本来数学家已经认为，微分几何已经是沉迷于玩溺上下指标，是没有大出息了。Gauss 时代的几何，总是把曲线曲面嵌入到外部的高维空间进行研究。但宇宙没有外面，于是，相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的Riemann 几何学，这样的几何对象，不需要外部空间的存在。

可能后来赶上爱因斯坦的相对论潮流的数学家会认为，爱因斯坦的等效原理就是说，在一个弯曲流形上的每一点，总可以存在一个平坦的切空间。（在爱因斯坦当时那个时代，manifold 这样的概念已经存在，就是1854 年左右的Riemann 引进的（Riemann 引进的流形概念和现在的概念相差很大，真正的是在1901 年Hilbert 定义而在1913 年由Weyl 精确定义）。）数学家用自己特有的方式理解等效原理，让文人墨客失魂落魄。歌德在这方面深有体会，他讲：数学家犹如法国人，无论你跟他们讲什么，他们把它翻译成自己的语言，于是成了全然不同的东西。

在物理上，爱因斯坦的自由下落的电梯是一个理想的惯性系，但它是局部的，在电梯里，引力消失了。几百年前，伽利略的另外一个思想实验，那里有一个从光滑斜面上滚下来的小球，这个小球被伽利略证明能够滚到无穷远处。他的这个思想实验，可以证明牛顿第一运动定律的正确性质，但留给后代的人一个问题，什么叫惯性，什么叫惯性系？这样的问题难有一针见血的答案让所有的人都欣然接受，充分理解。这个问题太难了，蜀道之难，难于上青天。惯性系是什么，也有登天之难。

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第四章闵氏时空

(1)
现在已经知道的是，物理学的几乎全部知识，全是建立在平坦的闵氏时空之上，但广义相对论是一个例外。如果问什么是广义相对论里的度量，答案是它很象是人生，人生如戏,但看戏的无非做戏人，也就是说，度量在时空舞台上，它既是演员又是观众。度量刻画时空流形的弯曲。古希腊哲学家们对于空间缺乏清晰的数学认识,因此他们的讨论没有考虑到这个空间到底是平坦还是弯曲。于是出现了一些过于飘渺的议论，这些议论有的是很诙谐的，比如认为大地是被乌龟托着，浮于大海之上。理想主义派的代表人物是柏拉图，他有时间研究几何学，搞了一个奥林匹亚学院，广收门徒,传道授业解惑,一时天下英才,尽数被得而育之,柏拉图的人生真乃是一派风流，他写了一本书，叫《理想国》。大学问家难免一脉相传，比如柏拉图本身就是苏格拉底的学生，而柏拉图的学生，有一个人，名字如雷贯耳，亚里士多德，亚里士多德影响历史，影响力达到两千年之久，亚里士多德的观点是朴素无华的，他认为重的物体和轻的物体做自由落体，重的物体先到落地。民间具有天真的直觉，也支持这个观点。在柏拉图的那个神秘学院，穿过学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是几个字：“不懂几何者禁止入内。”这样的话，让人不寒而栗。

柏拉图希望通过高深的几何学来理解空间。虽然他的用词很可能引起数学农民的反感，但这条道路，是一条正确而光明的道路。平面几何最杰出的定理之一来自毕达哥拉斯。毕达哥拉斯（Pythagelas）（约公元前580—约前500），是古希腊的哲学家、数学家、天文学家，他早年曾游历埃及、巴比伦（一说到过印度）等地，为了摆脱暴政，他移居到意大利半岛南部的克罗托内，在那里组织了一个集政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中被打散，他逃到塔兰托，后来终于被杀害了。但他的学派全保留了下来，这让人想起爱因斯坦在拒绝当以色列的总统时候说的一句话：“政治只为一时，而方程可以久远。”毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。这个定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概要归功于毕达哥拉斯学派。这个学派发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式：2n＋1，2n2＋2n 分别是二直角边，则斜边是2n2＋2n＋1。这公式既属于算术，又属于几何。

通过勾股定理，导致不可约分数也就是无理数的发现，这个发现者是学派的一个门徒，实际上这个发现极大地推动了数学的发展。如果要证明根号二是一个无理数，最好的办法可能是Fermat 发明的无限递降法。这个学派还有重大的发现，他们还发现正多面体只有五种，就是正四面体、正六面体、正八面体、十二面体和正二十面。这个发现被S T yau 赞美，其实就是欧拉后来发现的关于凸多面体的欧拉定理，或者说微分几何里的高斯（Gauss）-Bonnet定理，但这个背后，还有很深沉的东西。毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久，他的定理如果被推到很小的区域，也是正确的。几何学家往往把这样的微小三角形一个名字，美其名曰“特征三角形”。用相对论的眼光来看，毕氏的定理是描述了一个2 维平坦空间。有经验的看客会至少马上想到以下两点：第一，所有的2 维曲面都是局部共形平坦，整体上，比如Riemann 球和Poincare 上半平面都是无法与复平面建立共形等价的，当然也无法共形平坦。）第二，在所有2 维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立。毕达哥拉斯定理与广义相对论，有着一衣带水的关系。

毕达哥拉斯定理在中国被称为勾股定理。西周时代，武王克商，周公与大夫商高讨论，商高说，“勾三，股四，弦五”，这个话不能算是一个定理，只算是一个特例。这记载于一本朝代和来历不很明显的书《周髀算经》。但该书又明确指出，周公的后人的一段对话，对话里明显表达了勾股定理。毕达哥拉斯定理说，一个直角三角形，它的两边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。这个定理的证明方法很多，华罗庚年轻时候，也考虑过不少的证明方案。最流行的证明方案,恐怕是通过在一个边长为a+b 的正方形内内接一个边长为c 的正方形来作，利用面积相等，等到a 的平方加上b 的平方等于c 的平方。这个定理出现后，可能中国古代数学家找到了很多乐趣，生活充满七色阳光，数学家开始沉沦，之后中国的数学就开始落后了，科举考试也没有想到要测试一下数学能力，导致举国出现一种靡靡之音。后来到了17 世纪，有一个叫Fermat 的法国人，他本身是一个律师，但数学才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，比如，在数论中，他就有Fermat 大小定理传世。小定理说的是素数的一个性质，这个定理后来被欧拉推广，欧拉对比整数a 小的素数的个数引进了关于a 的一个函数。判定素数还有一个定理就是威尔逊定理。Fermat 在一本书的扉页或者页眉那样的地方写道：我可以证明a 的n 次方加b 的n 次方等于c 的n 次方，如果abc 不等于零，那它没有其他的整数解，这个我已经证明出来了，但这地方太小，写不下了。他写完这个后，也就没有多讲，后来就死去。这个命题传了出去，被称为Fermat 大猜想,或者Fermat 大定理，黑暗由此产生，几乎没有一个数学家能够证明它或者推翻它，所以，这个Fermat 大定理独领风骚三百年。

后来，据说这成了一种文化，在纽约地铁站，墙壁上可以看到这样的话：Fermat 大猜想我已经证明出来了，但我来不及写下我的证明，因为我的地铁来了。到了1995 年左右，Fermat 猜想真的被证明出来了，证明它的人叫Andrew Wiles。证明过程艰辛而且痛苦，类似于越王勾践，Andrew Wiles 深闭门而不出，十年磨一剑，终成大器。这是数论在近来的最高成就，数论远离物理学，相对论也很难与它有联系。虽然两者具有同样的品质:看上去很美。

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(2)
毕达哥拉斯定理用到计算空间点之间的绝对距离。空间的两个点之间的绝对距离不依赖于坐标系的变化。这一点很重要，正如一个人的思想品德，不依赖于他所穿的衣服。陈省身有一个比喻，大概意思是，微分流形就是裸体的原始人，而黎曼流形是穿衣服的现代人。衣服相当于坐标系，是可以更换的。但在坐标系变换下，绝对距离是一个不变量。闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄国的Alexotas (现在是立陶宛的Kaunas)。一看他的名字,一般人都能猜出他是俄国人，他要干的事情，是在时空中引进绝对的距离。这一点是惊人的，1908 年当他抛出他的这个绝对的时空距离的时候，连爱因斯坦本人，也有点不太能够理解。他年轻的时候，他父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的Konigsberg (哥尼斯堡)定居，普鲁士就是现在的德国，普法战争就是德国与法国的战争，所以在欧洲大陆上这个两个大国是有些宿仇的。当时的闵可夫斯基他们搬家以后，就与Hilbert 的家仅一河之隔。所以这一次搬家带给他和Hilbert 终身的友谊，年轻的时候，Hilbert觉得，闵可夫斯基远比自己聪明十倍，有点沮丧。1909 年1 月10 日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，于1 月12 日去世，年仅45 岁。挚友Hilbert 替他整理遗作，1911 年出版《闵可夫斯基全集》。1900 年闵可夫斯基在苏黎士的综合技术学校EYH 教数学，学生的人来人往，多数已经在历史里湮没，但里面有一个人就是爱因斯坦。

爱因斯坦对功课漠不关心，闵可夫斯基对此表示失望，说爱因斯坦是一只懒狗。1902 年闵可夫斯基离开ETH，来到德国的哥廷根大学担任数学教授，当时是Klein 邀请他去的。哥廷根大学领导世界数学潮流，当时有希尔伯特，克莱因，那样的巨人们在那里。1854 年，Riemann也就是为了在哥廷根大学得到一个讲师席位，发表了他那划时代的演讲。闵可夫斯基把时间和空间等同起来，构成一个整体。  
  
1907 年，Minkowski 猜想可以用非欧空间的想法来理解Lorentz 和Einstein 的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空：ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2。这种结构后来被称为"Minkowski 时空"。根据这个度量，相对论的精髓思想被用简单的数学方式表出。这些工作为狭义相对论提供了骨架。诺贝尔物理奖得主M. Born 说，他在Minkowski 的数学工作找到了“相对论的整个武器库”。用现在的语言讲，闵可夫斯基认为时间和空间作为一个整体存在，这个整体，被称为四维时空。换一个说法,就是在广义相对论中,没有先验的时间，为了得到时间，先到时空做一个3+1分解。因为4 维的东西没有人见到过，所以没有人可以想象出来4 维的时空到底是一个什么，象一个面包还是一个杯子，全不是。只好来一个比喻，时空就好象是一根香肠，可以被切片，每一个切面，才是空间。但3+1 分解是人为的，它破坏了本来的对称性。狭义相对论最重要的思想正是把单独的时间和空间给埋葬掉了。

闵可夫斯基说：“我要摆在你们面前的空间和时间的观点，已经在实验物理学的土壤里萌芽了……从今往后，空间和时间本身都将要注定在黑暗中消失，只有两者的一种结合才能够保持一个独立的实体。”

假定2 个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905 年发现的狭义相对论的全部。虽然当爱因斯坦听到闵可夫斯基的发现时，不是特别在意。爱因斯坦笑话说：闵可夫斯基用那么数学那样复杂的语言来描述狭义相对论，物理学家简直弄不清楚了。4 年后，1912 年，爱因斯坦认识到，自己不应该笑话闵可夫斯基。因为要把引力与狭义相对论结合起来，闵可夫斯基的观点是很优雅的。

（3）
狭义相对论考虑的是完全的平直时空，这样的时空是爱因斯坦方程的一个解，被称为闵可夫斯基时空。时空上面的度量是闵可夫斯基度量，保持度量不变的变换是庞加莱群。这个群是10 维的李群。但闵可夫斯基时空没有物质，引力场退化，在经典广义相对论看来，这是一个虚空，没有多少意义。

Minkowshi 时空是平坦的，看上去平淡无奇。数学家唐纳森等人在1983 年发现，4 维度的Minkowshi 时空流形（是Euclidean 空间，它与Minkowshi 时空流形无法建立整体的微分同胚，但可以局部微分同胚）具有无穷多个微分结构。这个发现利用的是非经典的量子场论，结论是惊人的，因为其他的R^n(n 不等于4)的流形上都只有唯一的微分结构。Minkowshi时空那样特殊，而人类生活其中，这简直成了又一个上帝存在的明证。

但在当时爱因斯坦和闵可夫斯基那个时代，人们的意识还没有到底这样深的程度。Maxwell 的电磁场理论已经无比成熟，这是在Minkowshi 时空上的电磁场方程。但有些问题很少被人注意到，比如因为电磁场的存在必然引起时空的弯曲，所以不存在真正意义上的平直时空的axwell 方程。

而其他的问题层出不穷，后来的相对论学家温茹也用量子场论中的波格留波夫变换等技术发现，在Minkowski 时空上的加速观察者，他将观测到自己处在热浴之中，也就是说，这组加速观察者看不到整个Minkowski 时空，而是存在一个看不到的区域，就是有一个视界，这个视界象一个黑洞视界一样，在热辐射粒子。Minkowski 时空显示出奇怪的另一面，这些事情的发生，引导人们反躬自问起来。对于看上去貌不惊人的Minkowshi 时空，人们到底晓得多少.。一直以为Minkowshi 时空是真空，但事情显得很复杂，它似乎象一个貌似平静，但诡波谲流的大海。

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第五章经典场

(1)
牛顿的万有引力是不需要媒质而瞬时作用的力，虽然牛顿也说，想象引力能在真空中瞬时地和超距地作用是荒谬的，数学家笛卡儿同时是一个哲学家，他有一些哲学思辩，主要的思想是想说明真空不是一无所有的虚空。19 世纪，同样的超距作用问题重新出现在库仑定律里——两个电荷在真空中通过瞬时力相互吸引或排斥。19 世纪的法拉第出身贫苦，他父亲是打铁的,象他这样的情况,要想做出好的工作,需要比别人加倍的努力。他13 岁就开始在钉书的店里搞装订做学徒。当时是维多利亚时代，流行教育讲座，每次要收钱1 先令，但法拉第没有。后来在新落成的皇家研究院有了免费讲座，是院长戴维主讲的。二十一岁的法拉第在他的内心里运筹帷幄，要求拜见戴维,后来他成功地成为戴维的助手，1813 年他还参加了环欧的科学旅行。他见到了许多著名的科学家，象安培、伏特和盖·吕萨克等，其中几位学者立即发现了这位年青人的才华。法拉第终于这样出人头地，但有时还不免被老板戴维的老婆叫去干一些贴身男仆才干的事情。法拉第是一个英雄人物。他相信，磁场能产生电流，于是做了许多实验,小学写过作文的人全知道法拉第有一本传说中的日记,那里每一天记着同样的几个字:“今天依然没有成功。”这说明锲而不舍是多么地重要。物理学实验不同于社会学的实验，戊戌变法失败后，政治教材告诉我们，这一失败说明资本主义的改良道路不适合当时的中国，辛亥革命的果实被袁世凯窃取，民主被帝制复辟，说明资本主义的革命道路不适合当时的中国，于是，一个伟大的历史决定论就浮现了，只有社会主义才能挽救当时的中国。但是，在物理学实验上，法拉第需要却是那种不断失败，不断战斗的精神。

日复一日，十年过去了。直到1831 年，他失手把磁铁掉进了线圈之中，电流计在电光火石间动了一下。磁场产生了电流，他终于成功了！！法拉第是这个黑暗长夜时代的光明，他是召唤电的天使，是后世唯一的神话之一。牛顿认为存在瞬时超距作用,法拉第提出了场的观念。认为能量存在的方式之一就是场，物体之间没有相互接触也可以通过场发生相互作用。这就是经典的场。如果把这个经典场量子化，得到的就是传递相互作用的媒介子，它们是自旋为整数的玻色子。后来的1930年代日本科学家汤川秀树提出了介子，用来传递中子和质子之间的相互作用。我第一次读这样的科普文章，看见书上画了两个小孩，他们把一个小皮球抛过来抛过去。真是太有趣了，这个小球，就是传递相互作用的介子。后来28 岁的麦克斯维选择了一个风和日丽的日子去拜访法拉第，后者已经是一位68岁的老头，法拉第说：“你是唯一真正理解我的人，但你不应该停留于用数学来解释我的观点,你应该突破它。”Maxwell 听从了这个意见。

（2）
Maxwell1831 年出生在英国爱丁堡。1831 年是一个非凡的年份。因为这一年，法拉第发现了电磁感应。霍金是一个出生时间选得更巧的人，他说他出生的那天，是伽利略逝世300 周年忌日！Maxwell 不善言辞，他是在英雄时代唯一一个可以与Newton 抗衡的人。他爸爸是有科学技术爱好的律师（有的说他爸爸是工程师）。他16 岁的时候上爱丁堡大学，有的同学说他爸爸是土财主，Maxwell 是一个土包子。三年后，19 岁的他到cambrigde 三一学院，为一窥上帝之书。再后来Maxwell 就留在Cambrige 教书，经常在玫瑰花开满花圃的夜晚对着花刺不住地演讲，从而达到给学生上课时候口吃清楚地程度。他下的苦工仅次于古希腊某位著名的结巴演讲家，后者每天清晨把石子放舌头底下练口才。

电磁理论的经典程度让人吃惊，包含库仑、奥斯特、法拉第、毕奥——萨伐尔、安培这些人发现的定律。丹麦物理学家奥斯特在上一堂电流实验课时，一根磁针碰巧正放在他的装置近旁。他注意到，每当接通电流时，磁针就发生偏转。这个发现之后才几个星期，安德烈·安培（Anure rtillpere）提出了一个理论，解释说可能是变化的电力产生感应磁力。于是，一个神秘的怪兽才开始被人类驯服。磁场显然是一个很奇怪的东西，后来的爱因斯坦回忆道，他小时候一直着迷挖空心思的一个玩具就是指南针。随后的一系列实验工作充分地证实了电和磁现象之间的密切关系。24 岁的Maxwell 发表了关于磁力线的第一个文章，题目叫做《法拉第的力线》，有一些清楚的数学表达。Maxwell 比起法拉第来，数学见长。1862 年Maxwel 发表了第二篇论文《物理力线》，进一步发展了法拉第的思想，得到了新的结果：电场变化产生磁场，由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。1864 年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》，从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，以演绎法建立了系统的电磁理论。1873 年他出版了《电学和磁学论》，全面地总结了19 世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系。这个理论体系是一幢在经典的土壤上建成的大厦，但这个大厦的建成，召唤着相对论的诞生。Maxwell 把那些定律统一起来，现在的大学物理教材上一般写成四个方程构成的一个方程组。这样的统一具备非凡的美感，可能更加重要的一点是，Maxwell 的方程组预言一点：光也是电磁波。

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牛顿时代以来，对于光是什么，讨论甚嚣尘上，但没有很好的答案，Maxwell基本用他的数学，回答了这个问题。光存在于这个世界，真的是太重要了。对于光，最精辟的说法是：上帝说要有光，于是有了光。在相对论中，光可以被看成是类光矢量，或者说零矢量，这样的零矢量本身不是零，它能够存在，在于，相对论在时空流形上配置了一个洛仑兹号差的度量。按照现代的微分几何，闵氏时空上的真空Maxwell 方程组可以写为：
dF=0 （1）
d*F=0 （2）
这是本书里出现的第一个方程组。作为一本正经的科普读物，这样的数学公式很可能引起阅读量比预期减半，读者纷纷逃逸。但这个方程实在是太美了，美到极致是疯狂，著者我也就不管了。民间科学家读到这里，多数人一笑而过，少数人会觉得莫名其妙，或者痛苦异常，睡觉也愤怒。（这是比较形式化的东西，不过确实可以让民科为难）为什么这里的Maxwell 是这样写的。于是准备了一段解释。方程（1）其实就是U（1）纤维丛上的毕安基恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F 相当于曲率2 形式。这个方程对应于Maxwell 方程组里的两个，其中一个说明，磁场的散度为零。方程（2）里面的星号表示的是Hodge 对偶。如果写成F=dA，其中A 是联络，那么，一些更加美妙的结论可以被推出来……引进余微分算子以后，可以与外微分算子一起组成lapalce 算子，然后，可以从真空的Maxwell方程组中推出波动方程来。当然，在这个过程中——物理系的本科生全知道——要加上lorentz 规范条件。

这就是一整套关于电的理论。1898 年汤母逊发现了电子后。这个理论开始一次又一次经受了实验的验证。但是麦克斯韦的方程写成四个一组的方程组，很多人会觉得有点美，但不是很对称，因为，他的方程里有电荷，但没有磁荷。其他的问题是一个静止电荷具有不随时间变化的径向电场。但当电荷运动时，其周围电场会自己调节到新的位置，场的变动以一个有限速度即光速传播，这就是辐射场。静电场和辐射场的区别，也引起了人们的注意。电磁理论的影响像万有引力定律一样巨大。麦克斯韦死后8 年即1887 年，亨利希·赫兹（Heinrich Herzi）在实验室成功地造出了电磁波。20 世纪初，古列莫·马可尼第一次实现了跨越大西洋的无线电联系，电讯时代从此开始。技术的光明比之前的任何一个时代还要光亮。

（3）
Maxwell 场方程的建立为后来狭义相对论的建立奠定了理论基础，因为它在伽利略变换下是被破坏的，也就是说，假如只做空间上的变换，而保持时间不变，Maxwell 场方程就要被破坏。于是严重的问题就出来了，直接导致了lorentz 变换的出现，这迫使人们接受一个四维的时空观。所以，在相对论出现的道路上，Maxwell 场方程是一个丰碑。一直到现在，Maxwell 场方程是完美无暇的，它在广义相对论中的基本不需要修改。

爱因斯坦的场方程出来以后，出现了很多与麦克斯维场方程的比较。其中一个特点是Maxwell 方程是线性的，爱因斯坦的方程是非线性的。另外一个是真空Maxwell 方程具有共形不变性，但真空爱因斯坦方程不具备这样的性质。后来，研究经典场的时候，一套旋量分析的方法被引进来，广阔的舞台打开了。科学家开始在这个宇宙的舞台上演奏华丽之弦，跳苍凉之舞。

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第六章狭义相对论

(1)
1900 年，世纪发轫，年度的英雄人物之中，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了那著名的23 个世纪难题，其中不包括庞加莱猜想，poincare 猜想出现于1904 年，这个猜想说假如某三流形具有与三维球面一样的同伦群，那么这个三维流形只能是三维球面。1900 年，在英国皇家学会的新年庆祝会上,著名物理学家开尔文勋爵作了展望新世纪的发言。回顾过去峥嵘岁月,他充满自信地说:物理学的大 厦已经建成,未来的物理学家只需要做些修修补补的工作就行了。只是明朗的天空中还有两朵乌云，一朵与黑体辐射有关，另一朵与迈克尔逊实验有关。

那时候是世纪之初，看来有一种新时代的浮躁。实际上，当时的物理学大厦压根就是一小庙，更广大的天空和宇宙还在神秘之中。数学和物理学面临一个大雨欲来风满楼的局面，相对论是一个交叉地带，数学家庞加莱和希尔伯特也在相对论上做过工作。庞加莱得到了lorentz 变换，希尔伯特在爱因斯坦之前得到了正确的广义相对论场方程。爱因斯坦去哥廷根报告他的工作的时候，一开始得到的场方程是R-ab=T-ab。其中R-ab 是里奇张量。

在爱因斯坦之前，物理学家lorentz 和数学家poincare 都已经在这个方向上作了大量的工作，用现代语言来讲，平坦闵氏时空的保度量变换就是poincare 变换群，而lorentz 变换群就是poincare 变换群的一个子群。但poincare 似乎是完全接受不了爱因斯坦的狭义相对论，虽然两个人的结果是几乎一样的。所以poincare 虽然一辈子作了不少关于相对论的演讲。但是他从来就不提起过爱因斯坦与相对论这两个词。某个时候，爱因斯坦的母校ETH(苏黎世理工学院)要聘请爱因斯坦当教授，poincare写了一封信，大大的夸奖了爱因斯坦一番,但最后一段比较微妙：“我不认为他的预言都能被将来验证，他从事的方向那么多，因此我们应该会想到，他的某些研究会走向死胡同。但在同时，我们有希望认为他走的某一个方向会获得成功，而某一个成功，就足够了。”poincare 于1912 年去世，他的贡献可以彪炳千古，其在微分几何上有一个poincare 引理，说的是一个闭形式能不能整体地写成一个恰当形式。这个引理说，如果微分形式F=dA，称F 是恰当的，那么dF=0；如果反过来，dF=0，称F 是闭的，但不一定能有整体的F=dA，要想实现整体的F=dA 这样的结果，要求流形是可以缩为一点的。poincare 引理言简意赅，但很容易引出高斯-斯托克斯积分公式，也可以引出纤维丛的示性类，所以著者可以主观地说：“把一个微分几何学家和广义相对论学家从睡梦中摇醒，问他什么是poincare 引理。假如答不出来，那他一定是假的。”poincare 去世了，有个数学界的组织者给爱因斯坦去了一封信，说要出个纪念文集来纪念poincare,爱因斯坦拖了四个月才回信说，由于路上的耽搁，信刚刚收到，估计已经晚了，偏偏这位组织者不死心，说晚了也没关系，你写了就行。于是爱因斯坦又过了两个半月回信说，由于事务繁忙，实在没力气写了，然后不了了之。

经典物理学的终结者是麦克斯韦。他同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。普朗克（Max Plank）说：“麦克斯韦的光辉名字将永远镌刻在经典物理学家的门扉上，光芒万丈。从出生地来说，他属于爱丁堡；从个性来说，他属于剑桥大学；从功绩来说，他属于全世界”。从研究方向看,很多人可能与他有一定的相似性，李政道也是。李政道在天体物理学上，把钱道拉塞卡极限从5.6 倍太阳质量推到了1.4 倍太阳质量，在统计物理方面，李政道证明了二维空间不存在湍流，后来又与杨振宁合作证明了单位圆分解定理。湍流是非常重要的，国内的极早就开始研究相对论的周培源教授，就化了大量力气来研究湍流。瓦特发明蒸汽机的之前，他注意到水的沸腾可以推动茶壶的盖子，但后来研究流体力学的人发现，沸腾是一件很严重的事情，在那个时候，热传导方程就不能再使用了。在那里，人们看到了湍流，纳维叶-斯托克斯偏微分方程，可以描述湍流。没有问题，湍流一直跟生活关系密切。

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1900 年，爱因斯坦大学毕业，天之骄子，难免意气风发，爱因斯坦试图留校当物理教授韦伯的助教，那样的话，爱因斯坦可以继续在那里读书然后得到博士学位。但是韦伯似乎不喜欢爱因斯坦，他要了两个外系的学生当助教，偏偏不要爱因斯坦，于是，爱因斯坦非常失望，对于前途的打算，被韦伯悉数破坏。在他1905 年建立狭义相对论之前,爱因斯坦的人生似乎波澜四起,命运多舛，他还没有结婚，但女朋友米列娃就给他生了一个女儿。据说这个女儿后来被爱因斯坦当作养子来抚养，爱因斯坦的父母反对他与米列娃结婚。他找不到工作，四处碰壁，还做了一阵家庭教师，生活显示出巨大的不稳定性，就象是一个蜘蛛网，罩了爱因斯坦一脸。为了找工作，爱因斯坦发了不少的求职信，但没有一个成功，爱因斯坦认为，很多用人单位要人，但他们往往去大学里打听他，韦伯一定说了不少坏话。1902 年，在他的朋友格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦终于在伯尔尼的瑞士联邦专利局找到了一份稳定的工作。

早在16 岁时，爱因斯坦就了解到光是电磁波，他想，如果一个人以光速运动，他看到的世界会是一个什么样子？爱因斯坦的少年时代的这个问题，一直引导着他前进，后来使得他博得了冷酷历史的嫣然一笑。爱因斯坦之所以那样想，是因为惯性参考系的相对性。爱因斯坦年少时的问题具有他思想上的光芒，但用光子来做参考系是没有意义的。但参考系是重要的，中国古代有庄周梦蝶的故事，很是朴素，大致是在说同样的事情。我上大学一年级的时候，第一次听到这个故事，觉得很惊人，朴素的思想，很大的奥妙。在运动学上，如果一个苍蝇绕着一个静坐在凳子上的人的脑袋打转，牛顿时代的看法是，苍蝇与该人的地位是平等的，因为在苍蝇看来，人是在绕着自己在打转。但事情远非那样简单，在人和苍蝇这个系统的背景下，有一个Minkowski 惯性系，这个参考系中，人的世界线是一条测地线，而苍蝇的世界线是螺旋上升的一条曲线，不是测地线。通俗地讲，在四维时空里看来，苍蝇和人，不具有同等的地位。在时空图中，人的世界线是直线，是Minkowski 背景时空上的测地线。而苍蝇的世界线是螺旋线。到了这里，一个新奇的世界已经展开。时间这个维度被加了进来，一个四维的参考系，显得比三维的参考系要多了一些新颖的东西。“世界线”这个词语，变成狭义相对论中最时髦的词语之一。

（2）
狭义相对论的最主要的公式是洛伦兹变换，是洛伦兹最先给出的，但相对论的创始人却不是洛伦兹而是爱因斯坦。洛伦兹也认为，相对论是爱因斯坦提出的。洛伦兹变换考虑惯性参考系之间的线性变换。假如是非线性的变换，就可能把一个没有零温度的惯性参考系变成一个热辐射的参考系，这就是林德勒变换。

从麦克斯韦电磁可以知道电磁波以光速传播，而且光速是一个恒定的常数。伽利略相对性原理说，物理规律在一切惯性系中都是相同的。麦克斯韦方程组在所有惯性系中都应成立，这就是说，光速在任何惯性系中都应该相同，都应是同一个常数c 。但同时按照伽利略相对性，惯性系之间可以差一个相对运动速度v 。依照速度(矢量)迭加的平行四边形法则，电磁波(即光波)的速度如果在惯性系A 中是c，那么，在相对于A 以速度v 运动的另一个惯性系B 中，就不应再是c 了，而应是c＋v 或c－v。但是，麦克斯韦电磁理论说光速只能是c ，不能是c＋v 或c－v。那么，爱因斯坦意识到，一定有什么地方出错了。

下面的三条理论，肯定有某一条是错误的了。
(1). 麦克斯韦电磁理论，它要求光速只能是常数c；
(2). 相对性原理，它要求包括电磁理论在内的所有物理规律在一切惯性系中都相同；
(3). 伽利略变换，作为三维空间矢量迭加原理的平行四边形法则。这一点后来看来不 满足四维的相对论，但对于一个四维矢量，这个平行四边形法则是否能继续使用呢？四维速度还能按照这个法则合成吗？粗略地说，数学家哈密顿曾经研究四元数，用了10 年的时间，才知道，四元数是不满足交换律的，也就是说，对一个四维矢量，AB 不等于BA，这样，平行四边形法则是不成立了。四元数空间实际上和单位矩阵和pauli 矩阵空间是同构的，但矩阵不满足交换律。细致地说，单位四元数是一个四维空间的三维球面，而三维球面正好是SU（2）李群。pauli 矩阵恰好是SU（2）李群的李代数的基。在这里依稀可以看到，洛伦兹群和su（2）群有了某种莫名的关系。这个关系就是旋量。爱因斯坦想的没有那么细致，但他认定，第（3）条是错的，在光速不变原理和相对性原理的基础上，他推出了两个惯性系之间的坐标变换关系，这个关系就是洛伦兹等人早已得出的变换公式。

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不过，爱因斯坦是在不知道洛伦兹等人的工作的情况下，独立推出这一公式的。更重要的是，爱因斯坦对该变换的解释与洛伦兹完全不同，时代证明，在物理解释上，爱因斯坦是正确的。于是，一个被巩固了地位的狭义相对性原理出场了：“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”狭义相对论的背景时空是Minkowski 平坦时空。相对性原理导致了朗之万提出Twins悖论。这个提法简洁明了，使得哲学家再次被惊醒了，学术非常之争鸣。哲学家亨利.伯格森后来承认，朗之万1911 年4月的演讲，“第一次唤起了我对爱因斯坦观念的注意”。双生子悖论使人困惑。劳厄1911 年写信告诉爱因斯坦，反对相对论的共同理由“主要是时间相对性和由此产生的悖论”。劳厄在1912 年写的世界上第一部相对论教科书中说：这些悖论和其它有关时间相对性问题具有“伟大的哲学意义”。附带地说，第一，当年的Twins悖论具有非凡的影响力，它极大地推动了狭义相对论思想在民间的传播；第二，在早期，写作相对论的文章的人中，有一个研究生，他是W.pauli，他的文章后来出了一本书，这个人后来在量子力学领域相当杰出，其批评意见无比尖锐刻薄，被称为“上帝的鞭子”。Twins 悖论的基本意思是说：在地球上有一对可爱的双胞胎姐妹，有一天，姐姐坐了极快速的火箭吧，去外太空去旅游了一番。等她回来，发现妹妹已经是人老珠黄，昭华已逝……而自己依然是貌美如花。既然相对论说，时间是相对的，那为什么会出现这样天上三日，地上三年的事情呢？现代的几何语言给出了一个解释：因为妹妹和姐姐的世界线不一样，妹妹的世界线是Minkowski 时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线。而世界线的长度表示生命的固有时间流动。更因为Pseudo-Riemannian 时空的切空间（Minkowski 时空是其特殊情况）成立反三角形性质：两边之和小于第三边。

天地者万物之逆旅，光阴者百代之过客。当李白把时间和空间分离开来理解的时候，他没有想到的是，把时间和空间结合起来理解，具有非凡的快感。往来成古今，26 岁的爱因斯坦，用他深邃的眼眸照亮了黑暗的时空。

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第七章 微分几何杂谈
（1）

最外行的人看到"测地线"一词,就猜想几何学起源于丈量大地，正如文身业起源于岳飞的母亲，说法有点牵强，但大地与几何学的关系，肯定是非比寻常。当人们发明平面几何的时候，也同时撞见一些问题，比如，能不能把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家，后来这个问题被证明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子，叫你去圈一块土地，怎么样子圈地，才能够得到最大面积，这就是等周问题。如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂，所谓Plateau问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程。真正研究极小曲面的人，才能在这个问题上有发言权。等周问题和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理上，人们把这个相关的问题称为“对作用量变分为零得到Euler-lagrang方程”。因此，几何学的这些问题非常朴素，但背后包含了巨大的玄机

古代的人不知道大地其实是一个2维球面。后来，麦哲伦环球航行，他是一个无比成功的冒险大王，他可能知道，假如大地是一个正方形，那么，可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头，然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸运的青年,后来，麦哲伦成功地回到了原来的出发点，大家才知道，原来真相是这样的：我们居住在一个球面之上。

事后诸葛，人类的武断让人苦笑，其实，麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面，因为，还有其他的可能，比如环面，柱面,Mobius带，Klein瓶。其实要发现大地是一个球面，是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处，比如卫星之上，向下俯瞰，才能得到一个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法。
2维球面具有很多性质，在拓扑的意义上，它的欧拉数为2。在几何上，它可以是最大对称空间，处处具有同样的曲率。在纤维丛上，2球面上的2形式张量场不可能整体是恰当的，也就是不可能存在单一的电磁势A使得处处满足F=dA，于是我们得到chern示性类

杨振宁写了一首诗歌，来赞美陈示性类。
"天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”
最后一句，欧高黎嘉陈。这一句话里面，包含五位杰出的几何学家。按照我第一次读到这个诗歌的经历，我有点吃不准，那个欧字，是欧拉还是欧几里得，欧拉在几何学上的贡献我不是很清楚，因此是欧几里得。欧拉是18世纪的数学巨匠,据说在他临死之前,他说了一句话:"我死了"。说完他就死去，很是神奇。数学大家的情操，表露无疑。欧拉生前，是处理无穷级数求和的专家，自然数倒数的平方和是一个难题，当时欧拉的老师John.伯努利也弄不出来，但欧拉算出来了，答案是pi的平方除以6。其证明过程相当于把n次多项式方程里的韦达定理推到n等于无穷。
高斯从小就是是一个神童，他10来岁的时候就会做等差数列求和，1加到100等于5050。这个故事现在家喻户晓，不少家庭用这个来检验自己家的小孩子是不是有数学天分。他青年的时候做17等分圆周的时候,后来就完整地研究了曲面和曲线,还得到很多重要的微分几何里的定理,其中一个叫"高斯绝妙定理",这个定理说明2维曲面的黎曼内禀曲率与外部空间无关.
黎曼1854年的那个著名演讲的题目是《几何学基础之假设》，微分几何学开始研究内禀曲率。
嘉当是法国数学家，是陈省身的导师。
陈省身是中国数学家，2004年12月在南开大学去世，标志一个数学时代的结束。

（2）
陈省身年轻的时候，推广了微分几何学上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影响，因为它联系了局部几何性质与整体拓扑性质，把看上去很不显然的两个东西联系在一起了，数学的统一性，变的非常明显。

他在1980年访问中国科学院理论物理研究所，写了一个诗歌，表达了更深的意思，数学和物理，具有统一性。这个诗歌高屋建瓴，人间难得几回闻：  

　　“物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。筹算竟有天人用，拈花一笑不言中。 ”

早期的相对论，因为没有用到整体微分几何，数学看上去有一些麻烦，数学技巧也显得不是很高，Hawking写道，费曼曾经描述过1962 年的一次华沙召开的引力会议，对当时的相对论研究者的低能表示了一定的轻视，到了1960年代，彭罗斯(R.Penrose )用整体微分几何证明了相对论里面的第一个奇性定理，结果开创了新的局面。penrose还大刀阔斧地在广义相对论中引进了旋量。就我自己的认识来说，dirac方程的解就是一种旋量。但在4维，最小的旋量是2维的,这就是中微子。如果n为偶数，n维时空之上,p=n/2-1,则,最小的旋量维数是2的p次方。如果n为奇数，n维时空之上,则p=n/2-1/2,最小的旋量维数是2的p次方。没有问题,在任意n维矢量空间,给定任意号差的黎曼度量,全可以定义旋量。但在流形上整体定义旋量，却要考虑到它的整体拓扑性质。